En matemáticas , el método Parker-Sochacki es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), desarrollado por G. Edgar Parker y James Sochacki, del Departamento de Matemáticas de la Universidad James Madison . El método produce soluciones de la serie Maclaurin para sistemas de ecuaciones diferenciales, con los coeficientes en forma algebraica o numérica.
El método Parker-Sochacki se basa en dos observaciones simples:
Se calculan sucesivamente varios coeficientes de la serie de potencias, se elige un paso de tiempo, se evalúa la serie en ese momento y se repite el proceso.
El resultado final es una solución por partes de orden superior para el problema original de EDO. El orden de la solución deseada es una variable ajustable en el programa que puede cambiar entre los pasos. El orden de la solución solo está limitado por la representación de punto flotante en la máquina que ejecuta el programa. Y en algunos casos se puede ampliar utilizando números de punto flotante de precisión arbitraria o, para casos especiales, encontrando la solución solo con coeficientes enteros o racionales.
El método solo requiere suma, resta y multiplicación, lo que lo hace muy conveniente para cálculos de alta velocidad. (Las únicas divisiones son inversas de números enteros pequeños, que se pueden calcular previamente). El uso de un orden alto (calcular muchos coeficientes de la serie de potencias) es conveniente. (Normalmente, un orden superior permite un paso de tiempo más largo sin pérdida de precisión, lo que mejora la eficiencia). El orden y el tamaño del paso se pueden cambiar fácilmente de un paso al siguiente. Es posible calcular un límite de error garantizado en la solución. Las bibliotecas de punto flotante de precisión arbitraria permiten que este método calcule soluciones arbitrariamente precisas.
Con el método Parker-Sochacki, la información entre los pasos de integración se desarrolla en un orden superior. A medida que el método Parker-Sochacki integra, el programa puede diseñarse para guardar los coeficientes de la serie de potencias que proporcionan una solución uniforme entre puntos en el tiempo. Los coeficientes se pueden guardar y utilizar de modo que la evaluación polinómica proporcione la solución de orden superior entre los pasos. Con la mayoría de los demás métodos de integración clásicos, habría que recurrir a la interpolación para obtener información entre los pasos de integración, lo que llevaría a un aumento del error.
Existe un límite de error a priori para un solo paso con el método Parker-Sochacki. [1] Esto permite que un programa Parker-Sochacki calcule el tamaño del paso que garantiza que el error esté por debajo de cualquier tolerancia dada distinta de cero. El uso de este tamaño de paso calculado con una tolerancia de error de menos de la mitad del épsilon de la máquina produce una integración simpléctica.
La mayoría de los métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente requieren únicamente la evaluación de las derivadas de los valores elegidos de las variables, por lo que sistemas como MATLAB incluyen implementaciones de varios métodos que comparten la misma secuencia de llamada. Los usuarios pueden probar diferentes métodos simplemente cambiando el nombre de la función llamada. El método Parker-Sochacki requiere más trabajo para poner las ecuaciones en la forma adecuada y no puede utilizar la misma secuencia de llamada.