Método de Monte Carlo en mecánica estadística.

Monte Carlo en física estadística se refiere a la aplicación del método de Monte Carlo a problemas de física estadística o mecánica estadística .

Descripción general

La motivación general para utilizar el método de Monte Carlo en física estadística es evaluar una integral multivariable. El problema típico comienza con un sistema para el cual se conoce el hamiltoniano, está a una temperatura determinada y sigue la estadística de Boltzmann . Para obtener el valor medio de alguna variable macroscópica, digamos A, el enfoque general es calcular, en todo el espacio de fases , PS por simplicidad, el valor medio de A utilizando la distribución de Boltzmann:

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}}$.

¿Dónde está la energía del sistema para un estado dado definido por - un vector con todos los grados de libertad (por ejemplo, para un sistema mecánico ), y ${\displaystyle E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \beta \equiv 1/k_{b}T}$

${\displaystyle Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}}$

es la función de partición .

Un posible enfoque para resolver esta integral multivariable es enumerar exactamente todas las configuraciones posibles del sistema y calcular los promedios a voluntad. Esto se hace en sistemas exactamente resolubles y en simulaciones de sistemas simples con pocas partículas. Por otra parte, en sistemas realistas, una enumeración exacta puede ser difícil o imposible de implementar.

Para esos sistemas, generalmente se emplea la integración de Monte Carlo (y que no debe confundirse con el método de Monte Carlo , que se utiliza para simular cadenas moleculares). La principal motivación para su uso es el hecho de que, con la integración de Monte Carlo, el error es , independientemente de la dimensión de la integral. Otro concepto importante relacionado con la integración Monte Carlo es el muestreo de importancia , una técnica que mejora el tiempo computacional de la simulación. ${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

En las siguientes secciones, se discute la implementación general de la integración de Monte Carlo para resolver este tipo de problemas.

Muestreo de importancia

Una estimación, bajo integración de Monte Carlo, de una integral definida como

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z}$

es

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde se obtienen uniformemente de todo el espacio de fase (PS) y N es el número de puntos de muestreo (o evaluaciones de funciones). ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

De todo el espacio de fases, algunas zonas del mismo son generalmente más importantes para la media de la variable que otras. En particular, aquellos que tienen el valor suficientemente alto en comparación con el resto de los espectros de energía son los más relevantes para la integral. Utilizando este hecho, la pregunta natural que cabe plantearse es: ¿es posible elegir, con más frecuencia, los estados que se sabe que son más relevantes para la integral? La respuesta es sí, utilizando la técnica del muestreo de importancia . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}}$

Supongamos que es una distribución que elige los estados que se sabe que son más relevantes para la integral. ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

El valor medio de se puede reescribir como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}}$,

¿Dónde están los valores muestreados teniendo en cuenta la probabilidad de importancia ? Esta integral se puede estimar mediante ${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$ ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde ahora se generan aleatoriamente usando la distribución. Dado que la mayoría de las veces no es fácil encontrar una manera de generar estados con una distribución determinada, se debe utilizar el algoritmo Metropolis . ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

Canónico

Debido a que se sabe que los estados más probables son aquellos que maximizan la distribución de Boltzmann, una buena distribución, a elegir para el muestreo de importancia es la distribución de Boltzmann o distribución canónica. Dejar ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}}$

ser la distribución a utilizar. Sustituyendo la suma anterior,

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}}$.

Entonces, el procedimiento para obtener un valor medio de una variable dada, usando el algoritmo Metropolis, con la distribución canónica, es usar el algoritmo Metropolis para generar estados dados por la distribución y realizar medias sobre . ${\displaystyle p({\vec {r}})}$ ${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$

Se debe considerar una cuestión importante cuando se utiliza el algoritmo metropolis con la distribución canónica: al realizar una medida determinada, es decir, la realización de , se debe garantizar que esa realización no esté correlacionada con el estado anterior del sistema (de lo contrario, los estados no están siendo " generado aleatoriamente). En sistemas con brechas de energía relevantes, este es el mayor inconveniente del uso de la distribución canónica porque el tiempo necesario para que el sistema se descorrelacione del estado anterior puede tender a infinito. ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

Multicanónico

Como se indicó anteriormente, el enfoque microcanónico tiene un gran inconveniente, que se vuelve relevante en la mayoría de los sistemas que utilizan la integración Monte Carlo. Para aquellos sistemas con "paisajes energéticos difíciles", se puede utilizar el enfoque multicanónico.

El enfoque multicanónico utiliza una opción diferente para el muestreo de importancia:

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}}$

¿Dónde está la densidad de estados del sistema? La principal ventaja de esta elección es que el histograma de energía es plano, es decir, los estados generados se distribuyen equitativamente en energía. Esto significa que, cuando se utiliza el algoritmo Metropolis, la simulación no ve el "paisaje energético aproximado", porque todas las energías se tratan por igual. ${\displaystyle \Omega (E)}$

El principal inconveniente de esta elección es el hecho de que, en la mayoría de los sistemas, se desconoce. Para superar esto, normalmente se utiliza el algoritmo de Wang y Landau para obtener el DOS durante la simulación. Tenga en cuenta que una vez conocido el DOS, se pueden calcular los valores medios de cada variable para cada temperatura, ya que la generación de estados no depende de . ${\displaystyle \Omega (E)}$ ${\displaystyle \beta }$

Implementación

En esta sección, la implementación se centrará en el modelo Ising . Consideremos una red de espines bidimensional, con L espines (sitios de red) en cada lado. Naturalmente, existen espines, por lo que el espacio de fases es discreto y se caracteriza por N espines, donde está el espín de cada sitio de la red. La energía del sistema está dada por , donde están el conjunto de los primeros espines vecinos de i y J es la matriz de interacción (para un modelo de ising ferromagnético, J es la matriz identidad). El problema está planteado. ${\displaystyle N=L^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$ ${\displaystyle E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})}$ ${\displaystyle viz_{i}}$

En este ejemplo, el objetivo es obtener y (por ejemplo, obtener la susceptibilidad magnética del sistema) ya que es sencillo de generalizar a otros observables. Según la definición, . ${\displaystyle \langle M\rangle }$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$ ${\displaystyle M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}}$

Canónico

Primero se debe inicializar el sistema: sea la temperatura de Boltzmann del sistema e inicialicemos el sistema con un estado inicial (que puede ser cualquier cosa ya que el resultado final no debe depender de él). ${\displaystyle \beta =1/k_{b}T}$

En la elección microcanónica, se debe emplear el método de la metrópoli. Debido a que no existe una forma correcta de elegir qué estado se elegirá, uno puede particularizar y optar por intentar realizar un giro a la vez. Esta elección suele denominarse giro único . Se deben realizar los siguientes pasos para realizar una sola medición.

Paso 1: generar un estado que siga la distribución: ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

Paso 1.1: Realice TT multiplicado por la siguiente iteración:

Paso 1.1.1: elija un sitio de celosía al azar (con probabilidad 1/N), que se llamará i, con spin . ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Paso 1.1.2: elige un número aleatorio . ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

Paso 1.1.3: calcula el cambio de energía al intentar voltear el giro i:

${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}}$

y su cambio de magnetización: ${\displaystyle \Delta M=-2\sigma _{i}}$

Paso 1.1.4: si es así , invierte el giro ( ); de lo contrario, no lo hagas. ${\displaystyle \alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{i}}$

Paso 1.1.5: actualice las diversas variables macroscópicas en caso de que el giro cambie :, ${\displaystyle E=E+\Delta E}$ ${\displaystyle M=M+\Delta M}$

después de los tiempos TT, se considera que el sistema no está correlacionado con su estado anterior, lo que significa que, en ese momento, la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado sigue la distribución de Boltzmann, que es el objetivo propuesto por este método.

paso 2: realizar la medición:

paso 2.1: guardar, en un histograma, los valores de M y M ² .

Como nota final, cabe señalar que TT no es fácil de estimar porque no es fácil decir cuándo el sistema está descorrelacionado con respecto al estado anterior. Para superar este punto, generalmente no se utiliza un TT fijo, sino un TT como tiempo de túnel . Un tiempo de túnel se define como el número de pasos 1. que el sistema necesita realizar para pasar del mínimo de su energía al máximo de su energía y regresar.

Un inconveniente importante de este método con la opción de giro único en sistemas como el modelo de Ising es que el tiempo de túnel se escala como una ley de potencia donde z es mayor que 0,5, fenómeno conocido como desaceleración crítica . ${\displaystyle N^{2+z}}$

Aplicabilidad

Por tanto, el método ignora la dinámica, lo que puede ser un gran inconveniente o una gran ventaja. De hecho, el método sólo puede aplicarse a cantidades estáticas, pero la libertad de elegir movimientos hace que el método sea muy flexible. Una ventaja adicional es que algunos sistemas, como el modelo de Ising , carecen de descripción dinámica y sólo están definidos por una prescripción energética; para estos, el enfoque de Monte Carlo es el único viable.

Generalizaciones

El gran éxito de este método en mecánica estadística ha llevado a diversas generalizaciones, como el método de recocido simulado para optimización, en el que se introduce una temperatura ficticia y luego se reduce gradualmente.

Ver también

• Integración de Montecarlo
• Algoritmo de metrópoli
• Muestreo de importancia
• Montecarlo cuántico
• Modelado molecular de Montecarlo

Referencias

• Allen, diputado y Tildesley, DJ (1987). Simulación Computarizada de Líquidos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855645-4.
• Frenkel, D. y Smit, B. (2001). Comprensión de la simulación molecular . Prensa académica. ISBN 0-12-267351-4.
• Binder, K. y Heermann, DW (2002). Simulación Monte Carlo en Física Estadística. Una introducción (4ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-43221-3.
• Spanier, Jerónimo; Gelbard, Ely M. (2008). "Muestreo de importancia". Principios de Montecarlo y problemas de transporte de neutrones . Dover. págs. 110-124. ISBN 978-0-486-46293-6.