Método de residuos ponderados por media

Método para resolver ecuaciones diferenciales

En matemáticas aplicadas, los métodos de residuos ponderados medios (MWR) son métodos para resolver ecuaciones diferenciales . Se supone que las soluciones de estas ecuaciones diferenciales se aproximan bien mediante una suma finita de funciones de prueba . En tales casos, el método seleccionado de residuos ponderados se utiliza para encontrar el valor del coeficiente de cada función de prueba correspondiente. Los coeficientes resultantes se crean para minimizar el error entre la combinación lineal de funciones de prueba y la solución real, en una norma elegida. ${\displaystyle \phi _{i}}$

Notación de esta página

A menudo es muy importante aclarar primero la notación utilizada antes de presentar cómo se ejecuta este método para evitar confusiones.

• ${\displaystyle u(x)}$se utilizará para denotar la solución de la ecuación diferencial a la que se aplica el método MWR.
• La solución de la ecuación diferencial mencionada se logrará estableciendo una función denominada "función residuo" en cero. ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)}$
• Cada método de residuos ponderados por media implica algunas "funciones de prueba" que se denotarán por . ${\displaystyle w_{i}}$
• Los grados de libertad se denotarán por . ${\displaystyle a_{i}}$
• Si la forma supuesta de la solución de la ecuación diferencial es lineal (en grados de libertad) entonces las funciones base utilizadas en dicha forma se denotarán por . ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

Enunciado matemático del método

El método de residuos ponderados medios se resuelve imponiendo que los grados de libertad son tales que: ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \left(R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right),w_{i}\right)=0}$

se satisface. Donde el producto interno es el producto interno de la función estándar con respecto a alguna función de ponderación que se determina generalmente por el conjunto de funciones base o arbitrariamente de acuerdo con la función de ponderación que sea más conveniente. Por ejemplo, cuando el conjunto base son solo los polinomios de Chebyshev del primer tipo, la función de ponderación es típicamente porque los productos internos se pueden calcular más fácilmente utilizando una transformada de Chebyshev . ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle r(x)}$ ${\displaystyle r(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Además, todos estos métodos tienen en común que imponen las condiciones de contorno ya sea imponiendo que las funciones base (en el caso de una combinación lineal) individualmente impongan las condiciones de contorno en la BVP original (esto solo funciona si las condiciones de contorno son homogéneas, sin embargo, es posible aplicarlo a problemas con condiciones de contorno no homogéneas dejando y sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial original e imponiendo condiciones de contorno homogéneas a la nueva solución que se busca para encontrar u(x), que es v(x), donde L(x) es una función que satisface las condiciones de contorno impuestas a u que se conocen), o imponiendo explícitamente el contorno eliminando n filas de la matriz que representa el problema discretizado, donde n se refiere al orden de la ecuación diferencial, y sustituyéndolas por otras que representen las condiciones de contorno. ${\displaystyle u(x)=v(x)+L(x)}$

Selección de funciones de prueba

La elección de la función de prueba, como se mencionó anteriormente, depende del método específico utilizado (dentro del encabezado general de métodos de residuos ponderados por la media). A continuación, se incluye una lista de métodos de residuos ponderados por la media específicos que se utilizan comúnmente y sus funciones de prueba correspondientes, aproximadamente según su popularidad:

• El método de Galerkin , que utiliza las funciones base como funciones de prueba o en el caso más general de una forma no lineal asumida (donde la no linealidad está en los grados de libertad) de la solución, el método de Galerkin utiliza las funciones de prueba: ${\displaystyle w_{i}={\frac {\partial u}{\partial a_{i}}}}$
• El método pseudoespectral que utiliza las funciones delta de Dirac centradas en un conjunto de puntos x discretos y equivale simplemente a establecer la función de residuo en cero en esos puntos x. ${\displaystyle x_{i}}$
• El método de mínimos cuadrados utiliza las funciones de prueba: . Este método tiene el efecto de minimizar el cuadrado de la norma L2 de la función de residuo (es decir ) con respecto a los grados de libertad . ${\displaystyle w_{i}={\frac {\partial R}{\partial a_{i}}}}$ ${\displaystyle \|{R}\|^{2}}$ ${\displaystyle a_{i}}$
• El método de momentos utiliza el conjunto simple de funciones de prueba y rara vez se implementa cuando se requieren altos grados de precisión debido a problemas computacionales asociados con la inversión de la matriz de Hilbert . ${\displaystyle x^{i}}$

Referencias

• Introducción a las matemáticas aplicadas, Wellesley-Cambridge Press (1986).