En los cálculos astronómicos y geodésicos , las ecuaciones cracovianas son una herramienta administrativa introducida en 1925 por Tadeusz Banachiewicz para resolver sistemas de ecuaciones lineales a mano. Dichos sistemas se pueden escribir como A x = b en notación matricial , donde x y b son vectores columna y la evaluación de b requiere la multiplicación de las filas de A por el vector x .
Los cracovianos introdujeron la idea de utilizar la transpuesta de A , A T , y multiplicar las columnas de A T por la columna x . Esto equivale a la definición de un nuevo tipo de multiplicación de matrices denotado aquí por '∧'. Por lo tanto x ∧ A T = b = A x . El producto cracoviano de dos matrices, digamos A y B , se define por A ∧ B = B T A , donde B T y A se suponen compatibles para el tipo común ( Cayley ) de multiplicación de matrices.
Como ( AB ) T = BTAT , los productos ( A∧B ) ∧C y A∧ ( B∧C ) generalmente serán diferentes; por lo tanto, la multiplicación cracoviana no es asociativa . Los cracovianos son un ejemplo de cuasigrupo .
Los cracovianos adoptaron una convención de columnas y filas para designar elementos individuales, en oposición a la convención estándar de filas y columnas del análisis matricial. Esto facilitó la multiplicación manual, ya que era necesario seguir dos columnas paralelas (en lugar de una columna vertical y una fila horizontal en la notación matricial). También aceleró los cálculos informáticos, porque los elementos de ambos factores se utilizaban en un orden similar, lo que era más compatible con la memoria de acceso secuencial de los ordenadores de aquella época (principalmente memoria de cinta magnética y memoria de tambor ). El uso de los cracovianos en astronomía se desvaneció a medida que se generalizaron los ordenadores con memoria de acceso aleatorio más grande . Cualquier referencia moderna a ellos está relacionada con su multiplicación no asociativa.
Recibe su nombre en reconocimiento a la ciudad de Cracovia .
En R, el efecto deseado se puede lograr mediante la crossprod()función. En concreto, el producto cracoviano de las matrices A y B se puede obtener como crossprod(B, A).