Método de Petrov-Galerkin

El método de Petrov-Galerkin es un método matemático utilizado para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que contienen términos de orden impar y donde la función de prueba y la función solución pertenecen a espacios de funciones diferentes. ^[1] Puede verse como una extensión del método de Bubnov-Galerkin donde las bases de las funciones de prueba y las funciones solución son las mismas. En una formulación de operador de la ecuación diferencial, el método de Petrov-Galerkin puede verse como la aplicación de una proyección que no es necesariamente ortogonal, en contraste con el método de Bubnov-Galerkin .

Recibe su nombre en honor a los científicos soviéticos Georgy I. Petrov y Boris G. Galerkin . ^[2]

Introducción con un problema abstracto

El método de Petrov-Galerkin es una extensión natural del método de Galerkin y puede introducirse de forma similar de la siguiente manera.

Un problema en la formulación débil

Consideremos un problema abstracto planteado como una formulación débil en un par de espacios de Hilbert y , a saber, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Encuentra tal que para todo . ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle a(u,w)=f(w)}$ ${\displaystyle w\in W}$

Aquí, es una forma bilineal y es una funcional lineal acotada en . ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$

Reducción de dimensión de Petrov-Galerkin

Elija subespacios de dimensión n y de dimensión m y resuelva el problema proyectado: ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle W_{m}\subset W}$

Encuentra tal que para todo . ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})}$ ${\displaystyle w_{m}\in W_{m}}$

Observamos que la ecuación no ha cambiado y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamente como una combinación lineal finita de los vectores base en . ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Ortogonalidad generalizada de Petrov-Galerkin

La propiedad clave del enfoque de Petrov-Galerkin es que el error es en cierto sentido "ortogonal" a los subespacios elegidos. Como , podemos utilizar como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación para el error, que es el error entre la solución del problema original, , y la solución de la ecuación de Galerkin, , como sigue ${\displaystyle W_{m}\subset W}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle \epsilon _{n}=v-v_{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},w_{m})=a(v,w_{m})-a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})-f(w_{m})=0}$Para todos . ${\displaystyle w_{m}\in W_{m}}$

Forma matricial

Dado que el objetivo de la aproximación es producir un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que puede utilizarse para calcular la solución algorítmicamente.

Sea una base para y una base para . Entonces, es suficiente usar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar tal que ${\displaystyle v^{1},v^{2},\ldots ,v^{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle w^{1},w^{2},\ldots ,w^{m}}$ ${\displaystyle W_{m}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(v_{n},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.}$

Desarrollamos con respecto a la base de la solución y la insertamos en la ecuación anterior, para obtener ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle v_{n}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i},w^{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}x^{i}a(v^{i},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.}$

Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones , donde ${\displaystyle A^{T}x=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(v^{i},w^{j}),\quad f_{j}=f(w^{j}).}$

Simetría de la matriz

Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz es simétrica si , la forma bilineal es simétrica, , , y para todos En contraste con el caso del método de Bubnov-Galerkin , la matriz del sistema ni siquiera es cuadrada, si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle V_{n}=W_{m}}$ ${\displaystyle v^{i}=w^{j}}$ ${\displaystyle i=j=1,\ldots ,n=m.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\neq m.}$

Véase también

• Método de Bubnov-Galerkin

Notas

1. JN Reddy: Una introducción al método de elementos finitos , 2006, Mcgraw–Hill
2. "Georgii Ivanovich Petrov (en su centésimo cumpleaños)", Fluid Dynamics, mayo de 2012, volumen 47, número 3, págs. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015