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Término de orden principal

Los términos de orden principal (o correcciones ) dentro de una ecuación , expresión o modelo matemático son los términos con el mayor orden de magnitud . [1] [2] Los tamaños de los diferentes términos en las ecuaciones cambiarán a medida que cambien las variables y, por lo tanto, los términos que son de orden principal también pueden cambiar.

Una forma común y poderosa de simplificar y comprender una amplia variedad de modelos matemáticos complicados es investigar qué términos son los más grandes (y por lo tanto los más importantes), para tamaños particulares de las variables y parámetros, y analizar el comportamiento producido por solo estos términos (considerando los otros términos más pequeños como insignificantes). [3] [4] Esto da el comportamiento principal: el comportamiento verdadero solo se aleja pequeñas de esto. Este comportamiento principal puede capturarse suficientemente bien solo con los términos estrictamente de orden principal, o puede decidirse que también se deben incluir términos ligeramente más pequeños. En cuyo caso, la frase términos de orden principal podría usarse informalmente para referirse a todo este grupo de términos. El comportamiento producido solo por el grupo de términos de orden principal se llama comportamiento de orden principal del modelo.

Ejemplo básico

Considere la ecuación y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Para cinco valores diferentes de x , la tabla muestra los tamaños de los cuatro términos de esta ecuación y qué términos son de orden principal. A medida que x aumenta aún más, los términos de orden principal siguen siendo x 3 e y , pero a medida que x disminuye y luego se vuelve cada vez más negativo, los términos que son de orden principal cambian nuevamente.

No existe un límite estricto para determinar cuándo dos términos deben o no considerarse aproximadamente del mismo orden o magnitud. Una posible regla general es que dos términos que están dentro de un factor de 10 (un orden de magnitud) entre sí deben considerarse aproximadamente del mismo orden, y dos términos que no están dentro de un factor de 100 (dos órdenes de magnitud) entre sí, no. Sin embargo, en el medio hay una zona gris, por lo que no hay límites fijos para considerar que los términos son aproximadamente de orden principal y que no. En cambio, los términos aparecen y desaparecen gradualmente a medida que cambian las variables. Decidir si los términos de un modelo son de orden principal (o aproximadamente de orden principal) y, en caso contrario, si son lo suficientemente pequeños como para considerarse insignificantes (dos preguntas diferentes), es a menudo una cuestión de investigación y juicio, y dependerá del contexto.

Comportamiento de orden superior

Las ecuaciones con un solo término de orden principal son posibles, pero raras. [ dudoso – discutir ] Por ejemplo, la ecuación 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (donde el lado derecho comprende cien 1). Para cualquier combinación particular de valores para las variables y parámetros, una ecuación normalmente contendrá al menos dos términos de orden principal y otros términos de orden inferior . En este caso, al suponer que los términos de orden inferior y las partes de los términos de orden principal que tienen el mismo tamaño que los términos de orden inferior (quizás la segunda o tercera cifra significativa en adelante) son insignificantes, se puede formar una nueva ecuación eliminando todos estos términos de orden inferior y partes de los términos de orden principal. Los términos restantes proporcionan la ecuación de orden principal , o el equilibrio de orden principal , [5] o el equilibrio dominante , [6] [7] [8] y crear una nueva ecuación que involucre solo estos términos se conoce como llevar una ecuación a orden principal . Las soluciones de esta nueva ecuación se denominan soluciones de orden principal [9] [10] de la ecuación original. El análisis del comportamiento dado por esta nueva ecuación proporciona el comportamiento de orden principal [11] [12] del modelo para estos valores de las variables y parámetros. El tamaño del error al realizar esta aproximación normalmente es aproximadamente el tamaño del término descuidado más grande.

Gráfica de y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. El orden principal, o comportamiento principal, en x  = 0,001 es que y es constante, y en x  = 10 es que y aumenta cúbicamente con x .

Supongamos que queremos comprender el comportamiento del orden principal del ejemplo anterior.

El comportamiento principal de y puede investigarse así en cualquier valor de x . El comportamiento de orden principal es más complicado cuando más términos son de orden principal. En x=2 hay un equilibrio de orden principal entre las dependencias cúbicas y lineales de y en x .

Tenga en cuenta que esta descripción de cómo encontrar equilibrios y comportamientos de orden principal solo brinda una descripción general del proceso; no es matemáticamente rigurosa.

Orden siguiente al líder

Por supuesto, y no es realmente completamente constante en x  = 0,001; este es simplemente su comportamiento principal en la vecindad de este punto. Puede ser que retener solo los términos de orden principal (o aproximadamente de orden principal) y considerar todos los demás términos más pequeños como insignificantes sea insuficiente (cuando se utiliza el modelo para predicciones futuras, por ejemplo), y por lo tanto puede ser necesario retener también el conjunto de términos más grandes siguientes. Estos pueden llamarse términos o correcciones de orden siguiente al principal (NLO). [13] [14] El siguiente conjunto de términos después de ese puede llamarse términos o correcciones de orden siguiente al siguiente al principal (NNLO). [15]

Uso

Expansiones asintóticas emparejadas

Las técnicas de simplificación de orden principal se utilizan junto con el método de expansiones asintóticas emparejadas , cuando la solución aproximada precisa en cada subdominio es la solución de orden principal. [3] [16] [17]

Simplificando las ecuaciones de Navier-Stokes

Para escenarios particulares de flujo de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes (muy generales) pueden simplificarse considerablemente considerando solo los componentes de orden principal. Por ejemplo, las ecuaciones de flujo de Stokes . [18] Además, las ecuaciones de película delgada de la teoría de lubricación .

Simplificación de ecuaciones diferenciales mediante aprendizaje automático

Varias ecuaciones diferenciales pueden simplificarse localmente considerando solo los componentes de orden principal. Los algoritmos de aprendizaje automático pueden dividir los datos de simulación u observación en particiones localizadas con términos de ecuación de orden principal para aplicaciones de aerodinámica, dinámica oceánica, angiogénesis inducida por tumores y datos sintéticos. [19]

Véase también

Referencias

  1. ^ JKHunter, Análisis asintótico y teoría de perturbaciones singulares , 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ^ Notas del curso de la Universidad de Nueva York
  3. ^ ab Mitchell, MJ; et al. (2010). "Un modelo de disolución de dióxido de carbono y cinética de carbonatación mineral". Actas de la Royal Society A . 466 (2117): 1265–1290. Bibcode :2010RSPSA.466.1265M. doi : 10.1098/rspa.2009.0349 .
  4. ^ Woollard, HF; et al. (2008). "Un modelo multiescala para el transporte de solutos en un canal de paredes onduladas" (PDF) . Journal of Engineering Mathematics . 64 (1): 25–48. Bibcode :2009JEnMa..64...25W. doi : 10.1007/s10665-008-9239-x .
  5. ^ Sternberg, P.; Bernoff, AJ (1998). "Inicio de la superconductividad en campos decrecientes para dominios generales". Revista de física matemática . 39 (3): 1272–1284. Código Bibliográfico :1998JMP....39.1272B. doi :10.1063/1.532379.
  6. ^ Salamon, TR; et al. (1995). "El papel de la tensión superficial en el equilibrio dominante en la singularidad del hinchamiento de la matriz". Física de fluidos . 7 (10): 2328–2344. Código Bibliográfico :1995PhFl....7.2328S. doi :10.1063/1.868746. Archivado desde el original el 8 de julio de 2013.
  7. ^ Gorshkov, AV; et al. (2008). "Control óptico cuántico coherente con resolución de sublongitud de onda". Physical Review Letters . 100 (9): 93005. arXiv : 0706.3879 . Código Bibliográfico :2008PhRvL.100i3005G. doi :10.1103/PhysRevLett.100.093005. PMID  18352706. S2CID  3789664.
  8. ^ Lindenberg, K. ; et al. (1994). "Reacciones binarias limitadas por difusión: la jerarquía de regímenes no clásicos para condiciones iniciales correlacionadas" (PDF) . Journal of Physical Chemistry . 98 (13): 3389–3397. doi :10.1021/j100064a020.
  9. ^ Żenczykowski, P. (1988). "Matriz de Kobayashi-Maskawa a partir de la solución de orden principal del modelo de Fritzsch de n- generación". Physical Review D . 38 (1): 332–336. Bibcode :1988PhRvD..38..332Z. doi :10.1103/PhysRevD.38.332. PMID  9959017.
  10. ^ Horowitz, GT; Tseytlin, AA (1994). "Agujeros negros extremos como soluciones de cuerdas exactas". Physical Review Letters . 73 (25): 3351–3354. arXiv : hep-th/9408040 . Código Bibliográfico :1994PhRvL..73.3351H. doi :10.1103/PhysRevLett.73.3351. PMID  10057359. S2CID  43551044.
  11. ^ Hüseyin, A. (1980). "El comportamiento de orden principal de las amplitudes de dispersión de dos fotones en QCD". Física nuclear B . 163 : 453–460. Código Bibliográfico :1980NuPhB.163..453A. doi :10.1016/0550-3213(80)90411-3.
  12. ^ Kruczenski, M.; Oxman, LE; Zaldarriaga, M. (1999). "Gran comportamiento de compresión de la generación de entropía cosmológica". Gravedad clásica y cuántica . 11 (9): 2317–2329. arXiv : gr-qc/9403024 . Código Bibliográfico :1994CQGra..11.2317K. doi :10.1088/0264-9381/11/9/013. S2CID  13979794.
  13. ^ Campbell, J.; Ellis, RK (2002). "Correcciones de orden siguiente al principal en la producción de chorros W+2 y chorros Z+2 en colisionadores de hadrones". Physical Review D . 65 (11): 113007. arXiv : hep-ph/0202176 . Código Bibliográfico :2002PhRvD..65k3007C. doi :10.1103/PhysRevD.65.113007. S2CID  119355645.
  14. ^ Catani, S.; Seymour, MH (1996). "El formalismo dipolar para el cálculo de secciones transversales de chorros de QCD en el orden siguiente al principal". Physics Letters B . 378 (1): 287–301. arXiv : hep-ph/9602277 . Código Bibliográfico :1996PhLB..378..287C. doi :10.1016/0370-2693(96)00425-X. S2CID  15422325.
  15. ^ Kidonakis, N.; Vogt, R. (2003). "Correcciones de gluones blandos de orden siguiente a siguiente al principal en la hadroproducción de quarks top". Physical Review D . 68 (11): 114014. arXiv : hep-ph/0308222 . Código Bibliográfico :2003PhRvD..68k4014K. doi :10.1103/PhysRevD.68.114014. S2CID  5943465.
  16. ^ Rubinstein, BY; Pismen, LM (1994). "Movimiento de vórtices en el modelo conservativo de Ginzburg–Landau espacialmente no homogéneo" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 78 (1): 1–10. Bibcode :1994PhyD...78....1R. doi :10.1016/0167-2789(94)00119-7.
  17. ^ Kivshar, YS; et al. (1998). "Dinámica de solitones de vórtices ópticos" (PDF) . Optics Communications . 152 (1): 198–206. Bibcode :1998OptCo.152..198K. doi :10.1016/S0030-4018(98)00149-7. Archivado desde el original (PDF) el 2013-04-21 . Consultado el 2012-10-31 .
  18. ^ Notas de la Universidad de Cornell
  19. ^ Kaiser, Bryan E.; Saenz, Juan A.; Sonnewald, Maike; Livescu, Daniel (2022). "Identificación automatizada de procesos físicos dominantes". Aplicaciones de ingeniería de la inteligencia artificial . 116 : 105496. doi : 10.1016/j.engappai.2022.105496 . S2CID  252957864.