En matemáticas , un punto de silla o punto minimax [1] es un punto en la superficie de la gráfica de una función donde las pendientes (derivadas) en direcciones ortogonales son todas cero (un punto crítico ), pero que no es un extremo local de la función. [2] Un ejemplo de punto de silla es cuando hay un punto crítico con un mínimo relativo a lo largo de una dirección axial (entre picos) y un máximo relativo a lo largo del eje de cruce. Sin embargo, no es necesario que un punto de silla tenga esta forma. Por ejemplo, la función tiene un punto crítico que es un punto de silla ya que no es ni un máximo ni un mínimo relativos, pero no tiene un máximo ni un mínimo relativos en la dirección -.
El nombre deriva del hecho de que el ejemplo prototípico en dos dimensiones es una superficie que se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en otra dirección, asemejándose a una silla de montar . En términos de curvas de nivel , un punto de silla en dos dimensiones da lugar a un mapa de curvas de nivel con un par de líneas que se cruzan en el punto. Estas intersecciones son raras en los mapas de estudios de artillería reales, ya que es poco probable que la altura del punto de silla coincida con los múltiplos enteros utilizados en dichos mapas. En cambio, el punto de silla aparece como un espacio en blanco en medio de cuatro conjuntos de líneas de contorno que se acercan y se alejan de él. Para un punto de silla básico, estos conjuntos se presentan en pares, con un par alto opuesto y un par bajo opuesto colocados en direcciones ortogonales. Las curvas de nivel críticas generalmente no tienen que cruzarse ortogonalmente.
Un criterio simple para verificar si un punto estacionario dado de una función de valor real F ( x , y ) de dos variables reales es un punto silla es calcular la matriz de Hesse de la función en ese punto: si la Hesse es indefinida , entonces ese punto es un punto de silla. Por ejemplo, la matriz de Hesse de la función en el punto estacionario es la matriz
que es indefinido. Por tanto, este punto es un punto de silla. Este criterio proporciona sólo una condición suficiente. Por ejemplo, el punto es un punto de silla para la función, pero la matriz de Hesse de esta función en el origen es la matriz nula , que no es indefinida.
En los términos más generales, un punto de silla para una función suave (cuya gráfica es una curva , superficie o hipersuperficie ) es un punto estacionario tal que la curva/superficie/etc. en la vecindad de ese punto no está completamente en ningún lado del espacio tangente en ese punto.
En un dominio de una dimensión, un punto de silla es un punto que es a la vez un punto estacionario y un punto de inflexión . Al ser un punto de inflexión, no es un extremo local .
Una superficie de silla es una superficie lisa que contiene uno o más puntos de silla.
Ejemplos clásicos de superficies de silla bidimensionales en el espacio euclidiano son las superficies de segundo orden, el paraboloide hiperbólico (que a menudo se denomina " la superficie de silla" o "la superficie de silla estándar") y el hiperboloide de una hoja . Las patatas fritas o crujientes Pringles son un ejemplo cotidiano de forma de paraboloide hiperbólico.
Las superficies de silla de montar tienen una curvatura gaussiana negativa que las distingue de las superficies convexas/elípticas que tienen una curvatura gaussiana positiva. Una superficie de silla de montar clásica de tercer orden es la silla de mono . [3]
En un juego de suma cero para dos jugadores definido en un espacio continuo, el punto de equilibrio es un punto de silla.
Para un sistema autónomo lineal de segundo orden, un punto crítico es un punto de silla si la ecuación característica tiene un valor propio real positivo y uno negativo. [4]
En la optimización sujeta a restricciones de igualdad, las condiciones de primer orden describen un punto de silla del lagrangiano .
En sistemas dinámicos , si la dinámica está dada por un mapa diferenciable f entonces un punto es hiperbólico si y sólo si el diferencial de ƒ n (donde n es el período del punto) no tiene valor propio en el círculo unitario (complejo) cuando se calcula en el punto. Entonces, un punto silla es un punto periódico hiperbólico cuyas variedades estables e inestables tienen una dimensión distinta de cero.
Un punto de silla de una matriz es un elemento que es a la vez el elemento más grande de su columna y el elemento más pequeño de su fila.
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