Polinomios de Touchard

Secuencia de polinomios

Los polinomios de Touchard , estudiados por Jacques Touchard  (1939), también llamados polinomios exponenciales o polinomios de Bell , comprenden una secuencia polinomial de tipo binomial definida por

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},}$

donde es un número de Stirling de segundo tipo , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n en k subconjuntos disjuntos no vacíos. ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$

Los primeros polinomios de Touchard son

${\displaystyle T_{1}(x)=x,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x.}$

Propiedades

Propiedades básicas

El valor en 1 del n.ésimo polinomio de Touchard es el n.ésimo número de Bell , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n :

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su enésimo momento es E( X ⁿ ) = T _n (λ), lo que lleva a la definición:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

Utilizando este hecho se puede demostrar rápidamente que esta secuencia polinómica es de tipo binomial , es decir, satisface la secuencia de identidades:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}$

Los polinomios de Touchard constituyen la única secuencia polinómica de tipo binomial con el coeficiente x igual a 1 en cada polinomio.

Los polinomios de Touchard satisfacen la fórmula similar a Rodrigues:

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

Los polinomios de Touchard satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

y

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

En el caso de x = 1, esto se reduce a la fórmula de recurrencia de los números de Bell .

Una generalización tanto de esta fórmula como de la definición es una generalización de la fórmula de Spivey ^[5]

$${\displaystyle T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{m-j}T_{j}(x)}$$

Usando la notación umbral T ⁿ ( x ) = T _n ( x ), estas fórmulas se convierten en:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},}$^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

La función generadora de los polinomios de Touchard es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

que corresponde a la función generadora de los números de Stirling de segunda especie .

Los polinomios de Touchard tienen representación integral de contorno :

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

Ceros

Todos los ceros de los polinomios de Touchard son reales y negativos. Este hecho fue observado por LH Harper en 1967. ^[6]

El valor absoluto del cero más a la izquierda está limitado desde arriba por ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

aunque se conjetura que el cero más a la izquierda crece linealmente con el índice n .

La medida de Mahler de los polinomios de Touchard se puede estimar de la siguiente manera: ^[8] ${\displaystyle M(T_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},}$

donde y son los más pequeños de los dos máximos k índices tales que y son máximos, respectivamente. ${\displaystyle \Omega _{n}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$

Generalizaciones

• El polinomio completo de Bell puede verse como una generalización multivariada del polinomio de Touchard , ya que ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$
• Los polinomios de Touchard (y por tanto los números de Bell ) se pueden generalizar, utilizando la parte real de la integral anterior, al orden no entero:

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

Ver también

• Polinomios de campana

Referencias

1. Romano, Steven (1984). El cálculo umbral . Dover. ISBN 0-486-44139-3.
2. Boyadzhiev, Khristo N. (2009). "Polinomios exponenciales, números de Stirling y evaluación de algunas integrales gamma". Análisis abstracto y aplicado . 2009 : 1–18. arXiv : 0909.0979 . Código Bib : 2009AbApA2009....1B. doi : 10.1155/2009/168672 .
3. Brendt, Bruce C. "RAMANUJAN LLEGA SU MANO DESDE SU TUMBA PARA ARRIBARTE TUS TEOREMAS" (PDF) . Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
4. Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bell". MundoMatemático .
5. "Implicaciones de la fórmula del número de campana de Spivey". cs.uwaterloo.ca . Consultado el 28 de mayo de 2023 .
6. Harper, LH (1967). "El comportamiento de Stirling es asintóticamente normal". Los anales de la estadística matemática . 38 (2): 410–414. doi : 10.1214/aoms/1177698956 .
7. Mező, István; Corcino, Roberto B. (2015). "La estimación de los ceros de los polinomios de Bell y r-Bell". Matemáticas Aplicadas y Computación . 250 : 727–732. doi :10.1016/j.amc.2014.10.058.
8. István, Mező. "Sobre la medida de Mahler de los polinomios de Bell" . Consultado el 7 de noviembre de 2017 .

• Touchard, Jacques (1939), "Sur les Cycles des substitutions", Acta Mathematica , 70 (1): 243–297, doi : 10.1007/BF02547349 , ISSN  0001-5962, SEÑOR  1555449