Operadores de creación y aniquilación

Operadores útiles en mecánica cuántica

Los operadores de creación y los operadores de aniquilación son operadores matemáticos que tienen aplicaciones generalizadas en la mecánica cuántica , en particular en el estudio de osciladores armónicos cuánticos y sistemas de muchas partículas. ^[1] Un operador de aniquilación (generalmente denotado como ) reduce el número de partículas en un estado dado en uno. Un operador de creación (generalmente denotado como ) aumenta el número de partículas en un estado dado en uno, y es el adjunto del operador de aniquilación. En muchos subcampos de la física y la química , el uso de estos operadores en lugar de funciones de onda se conoce como segunda cuantificación . Fueron introducidos por Paul Dirac . ^[2] ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

Los operadores de creación y aniquilación pueden actuar sobre estados de varios tipos de partículas. Por ejemplo, en la química cuántica y la teoría de muchos cuerpos, los operadores de creación y aniquilación a menudo actúan sobre estados de electrones . También pueden referirse específicamente a los operadores de escalera para el oscilador armónico cuántico . En el último caso, el operador de creación se interpreta como un operador de elevación, que agrega un cuanto de energía al sistema oscilador (de manera similar para el operador de reducción). Pueden usarse para representar fonones . La construcción de hamiltonianos utilizando estos operadores tiene la ventaja de que la teoría satisface automáticamente el teorema de descomposición en grupos . ^[3]

Las matemáticas para los operadores de creación y aniquilación de bosones son las mismas que para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . ^[4] Por ejemplo, el conmutador de los operadores de creación y aniquilación que están asociados con el mismo estado de bosón es igual a uno, mientras que todos los demás conmutadores se anulan. Sin embargo, para los fermiones las matemáticas son diferentes, ya que involucran anticonmutadores en lugar de conmutadores. ^[5]

Operadores de escalera para el oscilador armónico cuántico

En el contexto del oscilador armónico cuántico , uno reinterpreta los operadores de escalera como operadores de creación y aniquilación, agregando o restando cuantos fijos de energía al sistema oscilador.

Los operadores de creación/aniquilación son diferentes para los bosones (espín entero) y los fermiones (espín semientero). Esto se debe a que sus funciones de onda tienen diferentes propiedades de simetría .

Consideremos primero el caso bosónico más simple de los fotones del oscilador armónico cuántico. Empecemos con la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional e independiente del tiempo . $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Realizar una sustitución de coordenadas para adimensionalizar la ecuación diferencial $${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

La ecuación de Schrödinger para el oscilador se convierte en $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Nótese que la cantidad es la misma energía que la encontrada para los cuantos de luz y que el paréntesis en el hamiltoniano se puede escribir como ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$ $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}$$

Los dos últimos términos se pueden simplificar considerando su efecto sobre una función diferenciable arbitraria. ${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$lo que implica, coincidiendo con la relación de conmutación canónica habitual , en la representación del espacio de posiciones: . $${\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}$$ ${\displaystyle -i[q,p]=1}$ ${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

Por lo tanto, y la ecuación de Schrödinger para el oscilador se convierte, con la sustitución de lo anterior y la reorganización del factor de 1/2, $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$ $${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Si se define como "operador de creación" u "operador de elevación" y como "operador de aniquilación" u "operador de reducción" , la ecuación de Schrödinger para el oscilador se reduce a Esto es significativamente más simple que la forma original. Simplificaciones adicionales de esta ecuación permiten derivar todas las propiedades enumeradas hasta ahora. $${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ $${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ $${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Dejando , donde es el operador de momento no dimensionalizado que se tiene ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$y $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que esto implica $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Los operadores y pueden contrastarse con los operadores normales , que conmutan con sus adjuntos. ^{[nb 1]} ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

Utilizando las relaciones de conmutación dadas anteriormente, el operador hamiltoniano se puede expresar como $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Se pueden calcular las relaciones de conmutación entre los operadores y y el hamiltoniano: ^[6] ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Estas relaciones se pueden utilizar para encontrar fácilmente todos los estados propios de energía del oscilador armónico cuántico de la siguiente manera.

Suponiendo que es un estado propio del hamiltoniano . Utilizando estas relaciones de conmutación, se deduce que ^[6] ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Esto demuestra que y también son estados propios del hamiltoniano, con valores propios y respectivamente. Esto identifica a los operadores y como operadores de "reducción" y "elevación" entre estados propios adyacentes. La diferencia de energía entre estados propios adyacentes es . ${\displaystyle a\psi _{n}}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$ ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

El estado fundamental se puede hallar suponiendo que el operador de descenso posee un núcleo no trivial: con . Aplicando el hamiltoniano al estado fundamental, ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$Así es una función propia del hamiltoniano. ${\displaystyle \psi _{0}}$

Esto proporciona la energía del estado fundamental , lo que permite identificar el valor propio de energía de cualquier estado propio como ^[6] ${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Además, resulta que el primer operador mencionado en (*), el operador numérico, juega el papel más importante en las aplicaciones, mientras que el segundo, puede simplemente reemplazarse por . ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$ ${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle N+1}$

Como consecuencia, $${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

El operador de evolución temporal es entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Funciones propias explícitas

El estado fundamental del oscilador armónico cuántico se puede encontrar imponiendo la condición de que ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$ $${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

Escrita como una ecuación diferencial, la función de onda satisface la solución $${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

Se obtiene que la constante de normalización C es de , utilizando la integral gaussiana . Ahora se pueden obtener fórmulas explícitas para todas las funciones propias mediante la aplicación repetida de a . ^[7] ${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Representación matricial

La expresión matricial de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico cuántico con respecto a la base ortonormal anterior es $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Estos pueden obtenerse mediante las relaciones y . Los vectores propios son los del oscilador armónico cuántico y a veces se los denomina "base numérica". ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$

Operadores generalizados de creación y aniquilación

Gracias a la teoría de la representación y a las álgebras C*, los operadores derivados anteriormente son en realidad una instancia específica de una noción más generalizada de operadores de creación y aniquilación en el contexto de las álgebras CCR y CAR . Matemáticamente e incluso de manera más general, los operadores de escalera se pueden entender en el contexto de un sistema raíz de un grupo de Lie semisimple y el álgebra de Lie semisimple asociada sin la necesidad de realizar la representación como operadores en un espacio de Hilbert funcional . ^[8]

En el caso de representación del espacio de Hilbert, los operadores se construyen de la siguiente manera: Sea un espacio de Hilbert de una partícula (es decir, cualquier espacio de Hilbert, visto como la representación del estado de una sola partícula). El álgebra CCR ( bosónica ) sobre es el álgebra con operador de conjugación (llamado * ) generado de manera abstracta por elementos , donde varía libremente sobre , sujeto a las relaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$en notación entre corchetes .

Se requiere que la función de la álgebra CCR bosónica sea antilineal compleja (esto agrega más relaciones). Su adjunto es , y la función es lineal compleja en H . Por lo tanto , se incorpora como un subespacio vectorial complejo de su propia álgebra CCR. En una representación de esta álgebra, el elemento se realizará como un operador de aniquilación y como un operador de creación. ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

En general, el álgebra CCR es de dimensión infinita. Si tomamos una completitud del espacio de Banach, se convierte en un álgebra C* . El álgebra CCR está estrechamente relacionada con un álgebra de Weyl , pero no es idéntica a ella . ^{[ Aclaración necesaria ]} ${\displaystyle H}$

Para los fermiones, el álgebra CAR (fermiónica) se construye de manera similar, pero utilizando relaciones anticonmutadoras en su lugar, a saber: ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

El álgebra CAR es de dimensión finita solo si es de dimensión finita. Si tomamos una completitud del espacio de Banach (solo necesaria en el caso de dimensión infinita), se convierte en un álgebra. El álgebra CAR está estrechamente relacionada con un álgebra de Clifford , pero no es idéntica a ella . ^{[ Aclaración necesaria ]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Físicamente hablando, elimina (es decir, aniquila) una partícula en el estado mientras que crea una partícula en el estado . ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

El estado de vacío en campo libre es el estado sin partículas, caracterizado por ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$ $${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

Si se normaliza de modo que , entonces da el número de partículas en el estado . ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$ ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

Operadores de creación y aniquilación para ecuaciones de reacción-difusión

La descripción de los operadores de aniquilación y creación también ha sido útil para analizar ecuaciones de reacción de difusión clásicas, como la situación en la que un gas de moléculas se difunde e interactúa al entrar en contacto, formando un producto inerte: . Para ver cómo se puede describir este tipo de reacción mediante el formalismo de los operadores de aniquilación y creación, considere partículas en un sitio i en una red unidimensional. Cada partícula se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda con una cierta probabilidad, y cada par de partículas en el mismo sitio se aniquila entre sí con otra cierta probabilidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+A\to \emptyset }$ ${\displaystyle n_{i}}$

La probabilidad de que una partícula abandone el lugar durante el breve período de tiempo dt es proporcional a , digamos una probabilidad de saltar a la izquierda y otra a la derecha. Todas las partículas permanecerán en el mismo lugar con una probabilidad . (Como dt es tan breve, la probabilidad de que dos o más partan durante dt es muy pequeña y se ignorará). ${\displaystyle n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

Ahora podemos describir la ocupación de partículas en la red como un 'ket' de la forma . Representa la yuxtaposición (o conjunción, o producto tensorial) de los estados numéricos , ubicados en los sitios individuales de la red. Recordemos que ${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$ ${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$y para todo n ≥ 0 , mientras que $${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Ahora cambiaremos esta definición de los operadores para dar cabida a la naturaleza "no cuántica" de este problema y utilizaremos la siguiente definición: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que, aunque se ha modificado el comportamiento de los operadores en los kets, estos operadores aún obedecen la relación de conmutación. $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Ahora defina de modo que se aplique a . En consecuencia, defina como que se aplica a . Así, por ejemplo, el efecto neto de es mover una partícula del -ésimo sitio al i -ésimo sitio mientras se multiplica por el factor apropiado. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle (i-1)}$

Esto permite escribir el comportamiento difusivo puro de las partículas como $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

El término de reacción se puede deducir observando que las partículas pueden interactuar de diferentes maneras, de modo que la probabilidad de que un par se aniquile es , lo que produce un término ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)}$ ${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$ $${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

donde el estado numérico n se reemplaza por el estado numérico n − 2 en el sitio a una velocidad determinada. ${\displaystyle i}$

Así, el Estado evoluciona mediante $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Se pueden incluir otros tipos de interacciones de manera similar.

Este tipo de notación permite el uso de técnicas de teoría cuántica de campos en el análisis de sistemas de difusión de reacción. ^[10]

Operadores de creación y aniquilación en las teorías cuánticas de campos

En las teorías cuánticas de campos y en los problemas de muchos cuerpos se trabaja con operadores de creación y aniquilación de estados cuánticos, y . Estos operadores cambian los valores propios del operador numérico , por uno, en analogía con el oscilador armónico. Los índices (como ) representan números cuánticos que etiquetan los estados de partículas individuales del sistema; por lo tanto, no son necesariamente números individuales. Por ejemplo, se utiliza una tupla de números cuánticos para etiquetar estados en el átomo de hidrógeno . ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$ $${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema de múltiples bosones son, donde es el conmutador y es el delta de Kronecker . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Para los fermiones , el conmutador se reemplaza por el anticonmutador . Por lo tanto, intercambiar operadores disjuntos (es decir , ) en un producto de operadores de creación o aniquilación invertirá el signo en los sistemas de fermiones, pero no en los sistemas de bosones. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i\neq j}$

Si los estados etiquetados por i son una base ortonormal de un espacio de Hilbert H , entonces el resultado de esta construcción coincide con la construcción del álgebra CCR y del álgebra CAR de la sección anterior, salvo una. Si representan "vectores propios" correspondientes al espectro continuo de algún operador, como en el caso de partículas no ligadas en la teoría de campos cuánticos, entonces la interpretación es más sutil.

Normalización

Mientras que Zee ^[11] obtiene la normalización del espacio de momento a través de la convención simétrica para las transformadas de Fourier, Tong ^[12] y Peskin & Schroeder ^[13] utilizan la convención asimétrica común para obtener . Cada uno deriva . ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Srednicki además fusiona la medida invariante de Lorentz en su medida asimétrica de Fourier, , dando como resultado . ^[14] ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$

Véase también

• Espacio de Fock
• Espacio de Segal-Bargmann
• Espacio de fase óptica
• Transformación de Bogoliubov-Valatin
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación de Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Klein
• Relaciones de conmutación canónica

Notas

1. Un operador normal tiene una representación A = B + i C , donde B , C son autoadjuntos y conmutan , es decir . Por el contrario, a tiene la representación donde son autoadjuntos pero . Entonces B y C tienen un conjunto común de funciones propias (y son diagonalizables simultáneamente), mientras que p y q no las tienen y no lo son. ${\displaystyle BC=CB}$ ${\displaystyle a=q+ip}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle [p,q]=1}$

Referencias

1. Feynman 1998, pág. 151
2. Dirac, PAM (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación", Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
3. Weinberg, Steven (1995). "4". La teoría cuántica de campos, volumen 1. Cambridge University Press. pág. 169. ISBN 9780521670531.
4. Feynman 1998, pág. 167
5. Feynman 1998, págs. 174-5
6. Branson, Jim. "Física cuántica en la UCSD" . Consultado el 16 de mayo de 2012 .
7. Este y otros formalismos de operadores se pueden encontrar en Glimm y Jaffe, Quantum Physics , págs. 12-20.
8. Harris, Fulton, Teoría de la representaciónpág. 164
9. Pruessner, Gunnar. "Análisis de procesos de reacción-difusión mediante métodos teóricos de campo" (PDF) . Consultado el 31 de mayo de 2021 .
10. Baez, John Carlos (2011). Teoría de redes (serie de publicaciones en el blog; primera publicación). Adaptado posteriormente en Baez, John Carlos; Biamonte, Jacob D. (abril de 2018). Técnicas cuánticas en mecánica estocástica . doi :10.1142/10623.
11. Zee, A. (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras . Princeton University Press. pág. 63. ISBN 978-0691010199.
12. Tong, David (2007). Teoría cuántica de campos. pág. 24,31 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
13. Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5.
14. Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos. Cambridge University Press. pp. 39, 41. ISBN 978-0521-8644-97. Recuperado el 3 de diciembre de 2019 .

• Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Mecánica estadística: un conjunto de conferencias (2.ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-36076-9.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés de GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cap. XII. en línea