Modelo de Osipkov-Merritt

Funciones de distribución de Osipkov-Merritt, derivadas de modelos de galaxias que obedecen la ley de Jaffe en la densidad. El modelo isotrópico, , se representa con la línea gruesa. ${\displaystyle f=f(E)}$

Los modelos de Osipkov-Merritt (denominados así por Leonid Osipkov y David Merritt ) son representaciones matemáticas de sistemas estelares esféricos ( galaxias , cúmulos estelares , cúmulos globulares , etc.). La fórmula de Osipkov-Merritt genera una familia de un parámetro de funciones de distribución del espacio de fases que reproducen un perfil de densidad especificado (que representa estrellas) en un potencial gravitacional especificado (en el que se mueven las estrellas). La densidad y el potencial no necesitan estar relacionados de manera autoconsistente. Un parámetro libre ajusta el grado de anisotropía de la velocidad, desde movimientos isotrópicos hasta completamente radiales. El método es una generalización de la fórmula de Eddington ^[1] para construir modelos esféricos isotrópicos.

El método fue derivado independientemente por sus dos descubridores epónimos. ^{[2] [3]} La última derivación incluye dos familias adicionales de modelos (Tipo IIa, b) con movimientos tangencialmente anisotrópicos.

Derivación

Según el teorema de Jeans , la densidad del espacio de fases de las estrellas f debe ser expresable en términos de las integrales aislantes del movimiento, que en un sistema estelar esférico son la energía E y el momento angular J. El ansatz de Osipkov-Merritt es

${\displaystyle f=f(Q)=f(E+J^{2}/2r_{a}^{2})}$

donde r _a , el "radio de anisotropía", es un parámetro libre. Este ansatz implica que f es constante en los esferoides en el espacio de velocidad ya que

${\displaystyle 2Q=v_{r}^{2}+(1+r^{2}/r_{a}^{2})v_{t}^{2}+2\Phi (r)}$

donde v _r , v _t son componentes de velocidad paralelos y perpendiculares al radio vector r y Φ( r ) es el potencial gravitacional .

La densidad ρ es la integral sobre las velocidades de f :

${\displaystyle \rho (r)=2\pi \int \int f(E,J)v_{t}dv_{t}dv_{r}}$

que se puede escribir

${\displaystyle \rho (r)={2\pi \over r^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQf(Q)\int _{0}^{2r^{2}(Q-\Phi )/(1+r^{2}/r_{a}^{2})}dJ^{2}\left[2(Q-\Phi )-(J^{2}/r^{2})(1+r^{2}/r_{a}^{2})\right]^{-1/2}}$

o

${\displaystyle \rho (r)={4\pi \over 1+r^{2}/r_{a}^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQ{\sqrt {2(Q-\Phi )}}f(Q).}$

Esta ecuación tiene la forma de una ecuación integral de Abel y se puede invertir para dar f en términos de ρ :

${\displaystyle f(Q)={{\sqrt {2}} \over 4\pi ^{2}}{d \over dQ}\int _{Q}^{0}{d\Phi \over {\sqrt {\Phi -Q}}}{d\rho ^{'} \over d\Phi },\ \ \ \ \ \rho ^{'}(\Phi )=\left[1+r(\Phi )^{2}/r_{a}^{2}\right]\rho \left[r(\Phi )\right].}$

Propiedades

Siguiendo una derivación similar a la anterior, las dispersiones de velocidad en un modelo de Osipkov-Merritt satisfacen

${\displaystyle {\sigma _{r}^{2} \over \sigma _{t}^{2}}=1+{r^{2} \over r_{a}^{2}}.}$

Los movimientos son casi radiales ( ) para y casi isotrópicos ( ) para . Esta es una característica deseable, ya que los sistemas estelares que se forman a través del colapso gravitacional tienen núcleos isotrópicos y envolturas radialmente anisotrópicas. ^[4] ${\displaystyle \sigma _{r}\gg \sigma _{t}}$ ${\displaystyle r\gg r_{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{r}\approx \sigma _{t}}$ ${\displaystyle r\ll r_{a}}$

Si se asigna un valor demasiado pequeño a r _a , f puede ser negativa para algún Q . Esto es una consecuencia del hecho de que los modelos de masa esférica no siempre pueden reproducirse mediante órbitas puramente radiales. Dado que el número de estrellas en una órbita no puede ser negativo, los valores de r _a que generan f' negativos no son físicos. Este resultado se puede utilizar para limitar el grado máximo de anisotropía de los modelos de galaxias esféricas. ^[3]

En su artículo de 1985, Merritt definió dos familias adicionales de modelos ("Tipo II") que tienen núcleos isotrópicos y envolturas tangencialmente anisotrópicas. Ambas familias suponen

${\displaystyle f=f(E-J^{2}/2r_{a}^{2})}$.

En los modelos de tipo IIa, las órbitas se vuelven completamente circulares en r = r _a y permanecen así en todos los radios mayores. En los modelos de tipo IIb, las estrellas más allá de r _a se mueven en órbitas de diversas excentricidades, aunque el movimiento siempre tiende a ser circular. En ambas familias, la dispersión de velocidad tangencial experimenta un salto a medida que r aumenta más allá de r _a .

CM Carollo et al. (1995) ^[5] derivan muchas propiedades observables de los modelos de Osipkov-Merritt tipo I.

Aplicaciones

Las aplicaciones típicas de los modelos de Osipkov-Merritt incluyen:

• Modelado de cúmulos estelares , ^[6] galaxias , ^[7] halos de materia oscura ^[8] y cúmulos de galaxias ^[9]
• Construcción de modelos de galaxias anisotrópicas para estudios de inestabilidades dinámicas ^{[10] [11]}

Véase también

• Dinámica estelar

Referencias

1. Eddington, A. (1916), La distribución de estrellas en cúmulos globulares, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 76 , 572
2. Osipkov, LP (1979), Sistemas esféricos de cuerpos gravitatorios con una distribución de velocidad elipsoidal, Pis'ma v Astron. Zhur. , 5 , 77
3. Merritt, D. (1985), Sistemas estelares esféricos con distribuciones de velocidad esferoidal, Astron. J. , 90 , 1027
4. van Albada, T. (1983), Formación de galaxias sin disipación y la ley de R elevada a 1/4 de potencia, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 201 , 939
5. Carollo, CM et al. (1995), Perfiles de velocidad de los modelos de Osipkov-Merritt, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 276 , 1131
6. Lupton, R. et al. (1989), Las dispersiones de velocidad interna de tres cúmulos estelares jóvenes en la Gran Nube de Magallanes, Astrophys. J. , 347 , 201
7. Nolthenius, R. y Ford, H. (1987), El perfil de dispersión de masa y halo de M32, Astrophys. J. , 305 , 600
8. Sotnikova, N. Ya. y Rodionov, SA (2008), Modelos anisotrópicos de halos oscuros, Astron. Letón. , 34 , 664-674
9. Lokas, E. y Mamon, GA (2001), Propiedades de galaxias esféricas y cúmulos con un perfil de densidad NFW, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 321 , 155
10. May, A. y Binney, J. (1986), Pruebas de la estabilidad de los sistemas estelares, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 221 , 13
11. Saha, P. (1991), Modos inestables de un sistema estelar esférico, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 248 , 494