En matemáticas , y más específicamente en geometría proyectiva , un marco proyectivo o base proyectiva es una tupla de puntos en un espacio proyectivo que puede usarse para definir coordenadas homogéneas en este espacio. Más precisamente, en un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es una n + 2 -tupla de puntos tales que ningún hiperplano contiene n + 1 de ellos. Un marco proyectivo a veces se denomina simplex , [1] aunque un simplex en un espacio de dimensión n tiene como máximo n + 1 vértices.
En este artículo, sólo se consideran espacios proyectivos sobre un campo K , aunque la mayoría de los resultados pueden generalizarse a espacios proyectivos sobre un anillo de división .
Sea P ( V ) un espacio proyectivo de dimensión n , donde V es un espacio vectorial K de dimensión n + 1 . Sea la proyección canónica que asigna un vector v distinto de cero al punto correspondiente de P ( V ) , que es la línea vectorial que contiene a v .
Cada cuadro de P ( V ) se puede escribir como para algunos vectores de V. La definición implica la existencia de elementos distintos de cero de K tales que . Reemplazando por por y por , se obtiene la siguiente caracterización de un marco:
Además, dos bases definen el mismo marco de esta manera, si y sólo si los elementos de la segunda son productos de los elementos de la primera por un elemento fijo distinto de cero de K .
Como las homografías de P ( V ) son inducidas por endomorfismos lineales de V , se deduce que, dados dos fotogramas, hay exactamente una homografía que asigna la primera al segundo. En particular, la única homografía que fija los puntos de un marco es el mapa de identidad . Este resultado es mucho más difícil en geometría sintética (donde los espacios proyectivos se definen mediante axiomas). A veces se le llama el primer teorema fundamental de la geometría proyectiva . [2]
Cada cuadro se puede escribir como donde está la base de V. Las coordenadas proyectivas o coordenadas homogéneas de un punto p ( v ) sobre este marco son las coordenadas del vector v sobre la base. Si se cambian los vectores que representan el punto p ( v ) y los elementos del marco, las coordenadas se multiplican por un valor fijo. escalar distinto de cero.
Comúnmente se considera el espacio proyectivo P n ( K ) = P ( K n +1 ) . Tiene un marco canónico que consta de la imagen por p de la base canónica de K n +1 (que consta de elementos que tienen una sola entrada distinta de cero, que es igual a 1), y (1, 1, ..., 1) . Sobre esta base, las coordenadas homogéneas de p ( v ) son simplemente las entradas (coeficientes) de v .
Dado otro espacio proyectivo P ( V ) de la misma dimensión n , y un marco F del mismo, hay exactamente una homografía h que asigna F al marco canónico de P ( K n +1 ) . Las coordenadas proyectivas de un punto a en el marco F son las coordenadas homogéneas de h ( a ) en el marco canónico de P n ( K ) .
En el caso de una línea proyectiva, un marco consta de tres puntos distintos. Si P 1 ( K ) se identifica con K con un punto en el infinito ∞ agregado, entonces su marco canónico es (∞, 0, 1) . Dado cualquier marco ( a 0 , a 1 , a 2 ), las coordenadas proyectivas de un punto a ≠ a 0 son ( r , 1) , donde r es la relación cruzada ( a , a 2 ; a 1 , a 0 ) . Si a = a 0 , la razón cruzada es el infinito y las coordenadas proyectivas son (1,0) .
