Las relaciones de madeja son una herramienta matemática que se utiliza para estudiar los nudos . Una pregunta central en la teoría matemática de los nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una forma de responder a la pregunta es utilizando polinomios de nudos , que son invariantes del nudo . Si dos diagramas tienen diferentes polinomios , representan diferentes nudos. Sin embargo, lo inverso no es cierto.
Las relaciones de madeja se utilizan a menudo para dar una definición sencilla de polinomios de nudo. Una relación de madeja da una relación lineal entre los valores de un polinomio de nudo en una colección de tres enlaces que difieren entre sí solo en una pequeña región. Para algunos polinomios de nudo, como los polinomios de Conway , Alexander y Jones , las relaciones de madeja pertinentes son suficientes para calcular el polinomio de forma recursiva .
Una relación de madeja requiere tres diagramas de enlace que sean idénticos excepto en un cruce. Los tres diagramas deben mostrar las tres posibilidades que podrían ocurrir para los dos segmentos de línea en ese cruce: una de las líneas podría pasar por debajo, la misma línea podría estar por encima o las dos líneas podrían no cruzarse en absoluto. Los diagramas de enlace deben tenerse en cuenta porque un solo cambio de madeja puede alterar un diagrama que represente un nudo a uno que represente un enlace y viceversa. Dependiendo del polinomio de nudo en cuestión, los enlaces (o enredos) que aparecen en una relación de madeja pueden estar orientados o no orientados.
Los tres diagramas están etiquetados de la siguiente manera. Gire el diagrama de tres enlaces de modo que las direcciones en el cruce en cuestión sean ambas aproximadamente hacia el norte. Un diagrama tendrá noroeste sobre noreste, está etiquetado como L − . Otro tendrá noreste sobre noroeste, es L + . El diagrama restante carece de ese cruce y está etiquetado como L 0 .
(El etiquetado es independiente de la dirección en la medida en que permanece igual si se invierten todas las direcciones. Por lo tanto, los polinomios en nudos no dirigidos se definen de forma inequívoca mediante este método. Sin embargo, las direcciones en los enlaces son un detalle vital que se debe retener a medida que se recurre a través de un cálculo polinomial).
También es sensato pensar en un sentido generativo, tomando un diagrama de enlaces existente y "parcheándolo" para crear los otros dos, siempre y cuando los parches se apliquen con direcciones compatibles.
Para definir recursivamente un polinomio de nudo (enlace), se fija una función F y para cualquier triple de diagramas y sus polinomios etiquetados como arriba,
o más pedantemente
(Encontrar una F que produzca polinomios independientes de las secuencias de cruces utilizadas en una recursión no es un ejercicio trivial).
De manera más formal, se puede pensar que una relación de madeja define el núcleo de una función cociente del álgebra planar de enredos . Una función de este tipo corresponde a un polinomio de nudos si todos los diagramas cerrados se llevan a algún múltiplo (polinómico) de la imagen del diagrama vacío.
En algún momento a principios de la década de 1960, Conway demostró cómo calcular el polinomio de Alexander utilizando relaciones de madejas. Como es recursivo , no es tan directo como el método matricial original de Alexander ; por otro lado, partes del trabajo realizado para un nudo se aplicarán a otros. En particular, la red de diagramas es la misma para todos los polinomios relacionados con madejas.
Sea la función P de los diagramas de enlace a la serie de Laurent en tal que y un triple de diagramas de relación de madeja satisface la ecuación
Luego P asigna un nudo a uno de sus polinomios de Alexander.
En este ejemplo, calculamos el polinomio de Alexander del nudo cinquefoil ( ), el nudo alternado con cinco cruces en su diagrama mínimo. En cada etapa, mostramos una relación que involucra un vínculo más complejo y dos diagramas más simples. Observe que el vínculo más complejo está a la derecha en cada paso a continuación, excepto en el último. Para mayor comodidad, sea A = x −1/2 −x 1/2 .
Para comenzar, creamos dos nuevos diagramas parcheando uno de los cruces del cinquefoil (resaltado en amarillo) de modo que
El segundo diagrama es en realidad un trébol; el primero son dos nudos con cuatro cruces. Parcheando el último
da, de nuevo, un trébol y dos nudos con dos cruces (el enlace de Hopf [1]). Parcheando el trébol
da el nudo y, de nuevo, el enlace de Hopf. Parchear el enlace de Hopf
da un enlace con 0 cruces (desvincular) y un nudo. El desvinculación requiere un poco de astucia:
Ahora tenemos suficientes relaciones para calcular los polinomios de todos los enlaces que hemos encontrado y podemos usar las ecuaciones anteriores en orden inverso para llegar al nudo de cinco hojas. El cálculo se describe en la tabla siguiente, donde ? denota la cantidad desconocida que estamos resolviendo en cada relación:
Por lo tanto, el polinomio de Alexander para un cinquefoil es P(x) = x −2 -x −1 +1 -x +x 2 .
