Método de Nyström

En el análisis numérico matemático , el método de Nyström ^[1] o método de cuadratura busca la solución numérica de una ecuación integral reemplazando la integral por una suma ponderada representativa. El problema continuo se divide en intervalos discretos; la cuadratura o integración numérica determina los pesos y las ubicaciones de los puntos representativos para la integral. ${\displaystyle n}$

El problema se convierte en un sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones e incógnitas, y la función subyacente se representa implícitamente mediante una interpolación que utiliza la regla de cuadratura elegida. Este problema discreto puede estar mal condicionado, dependiendo del problema original y de la regla de cuadratura elegida. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dado que las ecuaciones lineales requieren ^{[ cita requerida ]} operaciones para resolverse, las reglas de cuadratura de orden superior funcionan mejor porque las reglas de cuadratura de orden inferior requieren valores grandes para una precisión determinada. La cuadratura gaussiana normalmente es una buena opción para problemas suaves y no singulares. ${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle n}$

Discretización de la integral

Los métodos de cuadratura estándar buscan representar una integral como una suma ponderada de la siguiente manera:

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(x)\;\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}h(x_{k})}$

donde son los pesos de la regla de cuadratura, y los puntos son las abscisas. ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

Ejemplo

Aplicando esto a la ecuación no homogénea de Fredholm de segundo tipo

${\displaystyle f(x)=\lambda u(x)-\int _{a}^{b}K(x,x')f(x')\;\mathrm {d} x'}$,

resultados en

${\displaystyle f(x)\approx \lambda u(x)-\sum _{k=1}^{n}w_{k}K(x,x_{k})f(x_{k})}$.

Véase también

• Método de elementos de contorno

Referencias

1. Nyström, Evert Johannes (1930). "Über die praktische Auflösung von Integralgleichungen mit Anwendungen auf Randwertaufgaben". Acta Matemática . 54 (1): 185–204. doi : 10.1007/BF02547521 .

Bibliografía

• Leonard M. Delves y Joan E. Walsh (eds): Solución numérica de ecuaciones integrales , Clarendon, Oxford, 1974.
• Hans-Jürgen Reinhardt: Análisis de métodos de aproximación para ecuaciones diferenciales e integrales , Springer, Nueva York, 1985.