Método de Runge-Kutta-Fehlberg

Algoritmo en análisis numérico

En matemáticas , el método de Runge-Kutta-Fehlberg (o método de Fehlberg ) es un algoritmo de análisis numérico para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias . Fue desarrollado por el matemático alemán Erwin Fehlberg y se basa en la gran clase de métodos de Runge-Kutta .

La novedad del método de Fehlberg es que es un método integrado ^{[ definición necesaria ]} de la familia Runge-Kutta , lo que significa que se utilizan evaluaciones de funciones idénticas en conjunto para crear métodos de orden variable y constantes de error similares. El método presentado en el artículo de Fehlberg de 1969 se ha denominado método RKF45 y es un método de orden O( h ⁴ ) con un estimador de error de orden O( h ⁵ ). ^[1] Al realizar un cálculo adicional, el error en la solución se puede estimar y controlar utilizando el método integrado de orden superior que permite determinar automáticamente un tamaño de paso adaptativo .

Cuadro de carnicero para el método 4(5) de Fehlberg

Cualquier método de Runge-Kutta se identifica de forma única por su tabla de Butcher . El par integrado propuesto por Fehlberg ^[2]

La primera fila de coeficientes en la parte inferior de la tabla proporciona el método preciso de quinto orden, y la segunda fila proporciona el método preciso de cuarto orden.

En este gráfico se muestra el tiempo de cálculo en tiempo real empleado durante una simulación de 3 cuerpos desarrollada con el método Runge-Kutta-Fehlberg. La mayor parte del tiempo de cálculo se emplea cuando los cuerpos pasan cerca y son susceptibles de error numérico .

Implementación de un algoritmo RK4(5)

Los coeficientes encontrados por Fehlberg para la Fórmula 1 (derivación con su parámetro α ₂ = 1/3) se dan en la siguiente tabla, utilizando indexación de matriz de base 1 en lugar de base 0 para ser compatible con la mayoría de los lenguajes de computadora:

Los coeficientes de la siguiente tabla no funcionan.

Fehlberg ^[2] describe una solución para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma: resolver iterativamente para donde h es un tamaño de paso adaptativo que se determinará algorítmicamente: $${\displaystyle {\frac {dy_{i}}{dx}}=f_{i}(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),i=1,2,\ldots ,n}$$ $${\displaystyle y_{i}(x+h),i=1,2,\ldots ,n}$$

La solución es el promedio ponderado de seis incrementos, donde cada incremento es el producto del tamaño del intervalo, , y una pendiente estimada especificada por la función f en el lado derecho de la ecuación diferencial. ${\textstyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=h\cdot f(x+A(1)\cdot h,y)\\k_{2}&=h\cdot f(x+A(2)\cdot h,y+B(2,1)\cdot k_{1})\\k_{3}&=h\cdot f(x+A(3)\cdot h,y+B(3,1)\cdot k_{1}+B(3,2)\cdot k_{2})\\k_{4}&=h\cdot f(x+A(4)\cdot h,y+B(4,1)\cdot k_{1}+B(4,2)\cdot k_{2}+B(4,3)\cdot k_{3})\\k_{5}&=h\cdot f(x+A(5)\cdot h,y+B(5,1)\cdot k_{1}+B(5,2)\cdot k_{2}+B(5,3)\cdot k_{3}+B(5,4)\cdot k_{4})\\k_{6}&=h\cdot f(x+A(6)\cdot h,y+B(6,1)\cdot k_{1}+B(6,2)\cdot k_{2}+B(6,3)\cdot k_{3}+B(6,4)\cdot k_{4}+B(6,5)\cdot k_{5})\end{aligned}}}$

Entonces el promedio ponderado es:

$${\displaystyle y(x+h)=y(x)+CH(1)\cdot k_{1}+CH(2)\cdot k_{2}+CH(3)\cdot k_{3}+CH(4)\cdot k_{4}+CH(5)\cdot k_{5}+CH(6)\cdot k_{6}}$$

La estimación del error de truncamiento es: $${\displaystyle \mathrm {TE} =\left|\mathrm {CT} (1)\cdot k_{1}+\mathrm {CT} (2)\cdot k_{2}+\mathrm {CT} (3)\cdot k_{3}+\mathrm {CT} (4)\cdot k_{4}+\mathrm {CT} (5)\cdot k_{5}+\mathrm {CT} (6)\cdot k_{6}\right|}$$

Al finalizar el paso, se calcula un nuevo tamaño de paso: ^[3]

$${\displaystyle h_{\text{new}}=0.9\cdot h\cdot \left({\frac {\varepsilon }{TE}}\right)^{1/5}}$$

Si , reemplácelo con y repita el paso. Si , el paso está completo. Reemplácelo con para el siguiente paso. ${\textstyle \mathrm {TE} >\varepsilon }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h_{\text{new}}}$ ${\textstyle TE\leqslant \varepsilon }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h_{\text{new}}}$

Los coeficientes encontrados por Fehlberg para la Fórmula 2 (derivación con su parámetro α ₂ = 3/8) se dan en la tabla siguiente, utilizando indexación de matriz de base 1 en lugar de base 0 para ser compatible con la mayoría de los lenguajes de computadora:

En otra tabla de Fehlberg, ^[2] se dan los coeficientes para un RKF4(5) derivado por D. Sarafyan:

Véase también

• Lista de métodos de Runge-Kutta
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
• Métodos de Runge-Kutta

Notas

1. Según Hairer et al. (1993, §II.4), el método fue propuesto originalmente en Fehlberg (1969); Fehlberg (1970) es un extracto de esta última publicación.
2. Hairer, Nørsett y Wanner (1993, pág. 177) se refieren a Fehlberg (1969)
3. Gurevich, Svetlana (2017). "Apéndice A Métodos de Runge-Kutta" (PDF) . Instituto Munster de Física Teórica . págs. 8–11 . Consultado el 4 de marzo de 2022 .

Referencias

• Fehlberg, Erwin (1968) Fórmulas clásicas de Runge-Kutta de quinto, sexto, séptimo y octavo orden con control del tamaño de los pasos . Informe técnico 287 de la NASA. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19680027281/downloads/19680027281.pdf
• Fehlberg, Erwin (1969) Fórmulas clásicas de Runge-Kutta de orden bajo con control de tamaño de paso y su aplicación a algunos problemas de transferencia de calor . Vol. 315. Administración nacional de aeronáutica y del espacio.
• Fehlberg, Erwin (1969). "Klassische Runge-Kutta-Nystrom-Formeln funfter und siebenter Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle". Computación . 4 : 93-106. doi :10.1007/BF02234758. S2CID  38715401.
• Fehlberg, Erwin (1970) Algunos resultados experimentales sobre la propagación de errores en fórmulas de integración de tipo Runge-Kutta. Informe técnico R-352 de la NASA. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700031412/downloads/19700031412.pdf
• Fehlberg, Erwin (1970). "Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme", Computing (Arch. Elektron. Rechnen) , vol. 6, págs. 61–71. doi :10.1007/BF02241732
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert; Wanner, Gerhard (1993). Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos (segunda edición). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-56670-8.
• Sarafyan, Diran (1966) Estimación de errores para métodos de Runge-Kutta mediante fórmulas pseudoiterativas . Informe técnico n.º 14, Universidad Estatal de Luisiana en Nueva Orleans, mayo de 1966.

Lectura adicional

• Fehlberg, E (1958). "Eine Methode zur Fehlerverkleinerung beim Runge-Kutta-Verfahren". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 38 (12/11): 421–426. Código bibliográfico : 1958ZaMM...38..421F. doi :10.1002/zamm.19580381102.
• Fehlberg, E (1964). "Nuevas fórmulas de Runge-Kutta de alto orden con control de tamaño de paso para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 44 (T1): T17-T29. doi :10.1002/zamm.19640441310.
• Fehlberg, E (1972). "Klassische Runge-Kutta-Nystrom-Formeln mit Schrittweiten-Kontrolle fur Differentialgleichungen x.. = f(t,x)". Computación . 10 : 305–315. doi :10.1007/BF02242243. S2CID  37369149.
• Fehlberg, E (1975). "Klassische Runge-Kutta-Nystrom-Formeln mit Schrittweiten-Kontrolle fur Differentialgleichungen x.. = f(t,x,x.)". Computación . 14 : 371–387. doi :10.1007/BF02253548. S2CID  30533090.
• Simos, TE (1993). "Un método de Runge-Kutta Fehlberg con desfase de orden infinito para problemas de valor inicial con solución oscilante". Computers & Mathematics with Applications . 25 (6): 95–101. doi : 10.1016/0898-1221(93)90303-D ..
• Handapangoda, CC; Premaratne, M.; Yeo, L.; Friend, J. (2008). "Método Laguerre Runge-Kutta-Fehlberg para simular la propagación de pulsos láser en tejido biológico". IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics . 1 (14): 105–112. Bibcode :2008IJSTQ..14..105H. doi :10.1109/JSTQE.2007.913971. S2CID  13069335..
• Simos, TE (1995). "Métodos de Runge-Kutta-Fehlberg modificados para problemas periódicos con valores iniciales". Revista Japonesa de Matemáticas Industriales y Aplicadas . 12 (1): 109. doi :10.1007/BF03167384. S2CID  120146558..
• Sarafyan, D. (1994). "Solución aproximada de ecuaciones diferenciales ordinarias y sus sistemas mediante fórmulas de Runge-Kutta discretas y continuas integradas y actualización de su orden". Computers & Mathematics with Applications . 28 (10–12): 353–384. doi : 10.1016/0898-1221(94)00201-0 .
• Paul, S.; Mondal, SP; Bhattacharya, P. (2016). "Solución numérica del modelo depredador-presa de Lotka Volterra utilizando el método de Runge–Kutta–Fehlberg y el método de descomposición de Laplace-Adomian". Alexandria Engineering Journal . 55 (1): 613–617. doi : 10.1016/j.aej.2015.12.026 .