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Lema de cobertura

En los fundamentos de las matemáticas , se utiliza un lema de cobertura para demostrar que la inexistencia de ciertos cardinales grandes conduce a la existencia de un modelo interno canónico , llamado modelo central , es decir, en cierto sentido, máximo y se aproxima a la estructura de el universo von Neumann V . Un lema de cobertura afirma que bajo algún supuesto particular anti-cardenal grande, el modelo central existe y es máximo en un sentido que depende del cardinal grande elegido. El primer resultado de este tipo lo demostró Ronald Jensen para el universo construible asumiendo que 0 # no existe, lo que ahora se conoce como teorema de cobertura de Jensen .

Ejemplo

Por ejemplo, si no existe un modelo interno para un cardinal medible , entonces el modelo central de Dodd-Jensen, K DJ es el modelo central y satisface la propiedad de cobertura , es decir, para cada conjunto incontable x de ordinales, existe y tal que y  ⊃  x , y tiene la misma cardinalidad que x , y y  ∈  K DJ . (Si 0 # no existe, entonces K DJ  =  L ).

Versiones

Si el modelo central K existe (y no tiene cardinales de Woodin), entonces

  1. Si K no tiene cardinales ω 1 -Erdős, entonces para una secuencia particular de funciones contables (en K) y definibles en K de ordinales a ordinales, cada conjunto de ordinales cerrados bajo estas funciones es una unión de un número contable de conjuntos en K Si L=K, estas son simplemente las funciones recursivas primitivas.
  2. Si K no tiene cardinales mensurables, entonces para cada conjunto incontable x de ordinales, existe y  ∈ K tal que x ⊂ y y |x| = |y|.
  3. Si K tiene sólo un cardinal mensurable κ, entonces para cada conjunto incontable x de ordinales, existe y ∈ K[C] tal que x ⊂ y y |x| = |y|. Aquí C es vacío o genérico Prikry sobre K (por lo que tiene tipo de orden ω y es cofinal en κ) y único excepto hasta un segmento inicial finito.
  4. Si K no tiene un límite inaccesible de cardinales mensurables ni una clase adecuada de cardinales mensurables, entonces existe un conjunto C máximo y único (excepto para un conjunto finito de ordinales) (llamado sistema de indiscernibles) para K tal que para cada secuencia S en K de conjuntos de medida uno que consisten en un conjunto para cada cardinal mensurable, C menos ∪S es finito. Tenga en cuenta que cada κ \ C es finito o Prikry genérico para K en κ, excepto para los miembros de C por debajo de un cardinal mensurable por debajo de κ. Para cada conjunto incontable x de ordinales, existe y ∈ K[C] tal que x ⊂ y y |x| = |y|.
  5. Para cada conjunto incontable x de ordinales, hay un conjunto C de indiscernibles para extensores totales en K tal que hay y ∈ K[C] y x ⊂ y y |x| = |y|.
  6. K calcula correctamente los sucesores de cardinales singulares y débilmente compactos ( Propiedad de cobertura débil ). Además, si |κ| > ω 1 , entonces cofinalidad((κ + ) K ) ≥ |κ|.

Extensores e indiscernibles

Para los modelos centrales sin extensores totales superpuestos, los sistemas de indiscernibles se entienden bien. Aunque (si K tiene un límite inaccesible de cardinales mensurables), el sistema puede depender del conjunto a cubrir, está bien determinado y es único en un sentido más débil. Una aplicación de la cobertura es contar el número de (secuencias de) indiscernibles, lo que proporciona límites inferiores óptimos para varios fallos de la hipótesis de los cardinales singulares . Por ejemplo, si K no tiene extensores totales superpuestos, y κ es un límite fuerte singular, y 2 κ  = κ ++ , entonces κ tiene orden de Mitchell al menos κ ++ en K. Por el contrario, un fallo de la hipótesis cardinal singular puede obtenerse (en una extensión genérica) de κ con o(κ) ​​= κ ++ .

Para los modelos centrales con extensores totales superpuestos (es decir, con un cardinal fuerte hasta uno mensurable), los sistemas de indiscernibles no se comprenden bien y las aplicaciones (como la cobertura débil) tienden a evitar los indiscernibles en lugar de analizarlos.

Propiedades adicionales

Si K existe, entonces cada cardinal regular de Jónsson es Ramsey en K. Cada cardinal singular que es regular en K es mensurable en K.

Además, si el modelo central K(X) existe por encima de un conjunto X de ordinales, entonces tiene las propiedades de cobertura comentadas anteriormente por encima de X.

Referencias