Lóbulos enrejados

Un patrón de radiación típico de matrices en fase cuyo espaciamiento entre elementos es mayor que la mitad de una longitud de onda, por lo tanto, el patrón de radiación tiene lóbulos en rejilla.

En el caso de las antenas de apertura discreta (como los conjuntos en fase ) en los que el espaciado entre elementos es mayor que la mitad de la longitud de onda, un efecto de alias espacial permite que las ondas planas incidentes en el conjunto desde ángulos visibles distintos de la dirección deseada se agreguen de manera coherente, lo que provoca lóbulos de rejilla . Los lóbulos de rejilla son indeseables e idénticos al lóbulo principal. La diferencia percibida en los lóbulos de rejilla se debe al patrón de radiación de los elementos de antena no isótropos, que afecta a los lóbulos principal y de rejilla de manera diferente. En el caso de los elementos de antena isótropos, los lóbulos principal y de rejilla son idénticos.

Definición

En los conjuntos de antenas o transductores, un lóbulo de rejilla se define como "un lóbulo distinto del lóbulo principal, producido por una antena de conjunto cuando el espaciado entre elementos es suficientemente grande para permitir la adición en fase de campos radiados en más de una dirección". ^[1]

Derivación

Animación que muestra un gráfico de coordenadas polares del patrón de radiación de un sistema de matriz en fase . La animación muestra cómo cambian los lóbulos del haz principal y de la rejilla en función del barrido del haz .

Para ilustrar el concepto de lóbulos de rejilla, utilizaremos una matriz lineal uniforme simple. El patrón de haz (o factor de matriz ) de cualquier matriz se puede definir como el producto escalar del vector de dirección y el vector de variedad de la matriz. Para una matriz lineal uniforme, el vector de variedad es , donde es la diferencia de fase entre elementos adyacentes creada por una onda plana incidente desde una dirección arbitraria, es el número de elemento y es el número total de elementos. El término simplemente centra el punto de referencia para la fase en el centro físico de la matriz. A partir de una geometría simple, se puede demostrar que es , donde se define como el ángulo de incidencia de la onda plana donde es una onda plana incidente ortogonal a la matriz (desde el eje de puntería). ^[2] ${\displaystyle {\vec {v}}(\psi )=e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times cos\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

En el caso de una matriz lineal uniforme ponderada de manera uniforme (sin ahusarse), el vector de dirección tiene una forma similar al vector de la variedad, pero se "dirige" a una fase objetivo, , que puede diferir de la fase real, de la señal incidente. El factor de matriz normalizada resultante es una función de la diferencia de fase, . ^[3] ${\displaystyle \psi _{T}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi -\psi _{T}}$

${\displaystyle AF={\frac {1}{N}}{\vec {v}}^{H}(\psi _{T}){\vec {v}}(\psi )={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{T}}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }={\frac {1}{N}}e^{-j{\frac {N-1}{2}}\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}e^{jn\psi _{\Delta }}={\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{Nsin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}},-\infty <\psi _{\Delta }<\infty }$

Por lo tanto, el factor de matriz es periódico y se maximiza siempre que el numerador y el denominador sean ambos iguales a cero, por la regla de L'Hôpital . Por lo tanto, se obtiene un máximo de la unidad para todos los números enteros , donde . Volviendo a nuestra definición de , deseamos poder dirigir la matriz electrónicamente sobre toda la región visible , que se extiende desde hasta , sin incurrir en un lóbulo de rejilla. Esto requiere que los lóbulos de rejilla estén separados por al menos . A partir de la definición de , vemos que los máximos ocurrirán siempre que . El primer lóbulo de rejilla ocurrirá en . Para un haz dirigido a , requerimos que el lóbulo de rejilla no esté más cerca que . Por lo tanto . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{\Delta }=2\pi n}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi n={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \left(cos\theta -cos\theta _{T}\right)}$ ${\displaystyle |n|=1}$ ${\displaystyle \theta _{T}=180^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$ ${\displaystyle d={\frac {2\pi \lambda }{2\pi \left(1+1\right)}}={\frac {\lambda }{2}}}$

Relación con el teorema de muestreo

Alternativamente, se puede pensar en una matriz lineal uniforme (ULA) como un muestreo espacial de una señal en el mismo sentido que el muestreo temporal de una señal. Los lóbulos de rejilla son idénticos al aliasing que ocurre en el análisis de series temporales para una señal submuestreada. ^{[4] Según} el teorema de muestreo de Shannon , la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia más alta de la señal deseada para evitar el aliasing espectral. Debido a que el patrón de haz (o factor de matriz ) de una matriz lineal es la transformada de Fourier del patrón de elementos, ^[5] el teorema de muestreo se aplica directamente, pero en el dominio espacial en lugar del espectral. La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de una señal muestreada es siempre periódica y produce "copias" del espectro a intervalos de la frecuencia de muestreo. En el dominio espacial, estas copias son los lóbulos de rejilla. El análogo de la frecuencia en radianes en el dominio temporal es el número de onda , radianes por metro, en el dominio espacial. Por lo tanto, la frecuencia de muestreo espacial, en muestras por metro, debe ser . El intervalo de muestreo, que es el inverso de la frecuencia de muestreo, en metros por muestra, debe ser . ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \geq 2{\frac {samples}{cycle}}\times {\frac {k{\frac {radians}{meter}}}{2\pi {\frac {radians}{cycle}}}}}$ ${\displaystyle \leq {\frac {\lambda }{2}}}$

Referencias

1. IEEE Std 145-2013, "Estándar IEEE para definiciones de términos para antenas"
2. Van Trees, HL Procesamiento óptimo de matrices . págs. 42–53.
3. Van Trees, Procesamiento óptimo de matrices HL . pág. 54.
4. Van Trees, Procesamiento óptimo de matrices HL . pág. 51.
5. Mailloux, RJ (2005). Manual de antenas de matriz en fase . Norwood, MA: Artech House. págs. 109-111.