Anatomía computacional

Interdisciplinary field of biology

La anatomía computacional es un campo interdisciplinario de la biología centrado en la investigación cuantitativa y el modelado de la variabilidad de las formas anatómicas. ^{[1] [2]} Implica el desarrollo y la aplicación de métodos matemáticos, estadísticos y de análisis de datos para el modelado y la simulación de estructuras biológicas.

El campo está ampliamente definido e incluye fundamentos en anatomía , matemáticas aplicadas y matemáticas puras , aprendizaje automático , mecánica computacional , ciencia computacional , imágenes biológicas , neurociencia , física , probabilidad y estadística ; también tiene fuertes conexiones con la mecánica de fluidos y la mecánica geométrica . Además, complementa campos interdisciplinarios más nuevos como la bioinformática y la neuroinformática en el sentido de que su interpretación utiliza metadatos derivados de las modalidades originales de imágenes de sensores (de las cuales la resonancia magnética es un ejemplo). Se centra en las estructuras anatómicas que se están visualizando, en lugar de los dispositivos de imágenes médicas. Es similar en espíritu a la historia de la lingüística computacional , una disciplina que se centra en las estructuras lingüísticas en lugar del sensor que actúa como medio de transmisión y comunicación.

En anatomía computacional, el grupo de difeomorfismos se utiliza para estudiar diferentes sistemas de coordenadas a través de transformaciones de coordenadas generadas a través de las velocidades de flujo lagrangianas y eulerianas en . Los flujos entre coordenadas en anatomía computacional están restringidos a ser flujos geodésicos que satisfacen el principio de mínima acción para la energía cinética del flujo. La energía cinética se define a través de una norma de suavidad de Sobolev con estrictamente más de dos derivadas generalizadas e integrables al cuadrado para cada componente de la velocidad del flujo, lo que garantiza que los flujos en son difeomorfismos. ^[3] También implica que el momento de forma difeomórfica tomado puntualmente que satisface la ecuación de Euler-Lagrange para geodésicas está determinado por sus vecinos a través de derivadas espaciales en el campo de velocidad. Esto separa la disciplina del caso de fluidos incompresibles ^[4] para los cuales el momento es una función puntual de la velocidad. La anatomía computacional se cruza con el estudio de las variedades de Riemann y el análisis global no lineal , donde los grupos de difeomorfismos son el foco central. Las teorías emergentes de alta dimensión de la forma ^[5] son ​​fundamentales para muchos estudios en anatomía computacional, al igual que las preguntas que surgen del campo incipiente de las estadísticas de forma . Las estructuras métricas en anatomía computacional están relacionadas en espíritu con la morfometría , con la distinción de que la anatomía computacional se centra en un espacio de dimensión infinita de sistemas de coordenadas transformados por un difeomorfismo , de ahí el uso central de la terminología difeomorfometría, el estudio del espacio métrico de los sistemas de coordenadas a través de difeomorfismos. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Génesis

En el corazón de la anatomía computacional se encuentra la comparación de formas mediante el reconocimiento de una forma con otra. Esto la conecta con los desarrollos de D'Arcy Wentworth Thompson en On Growth and Form, que ha llevado a explicaciones científicas de la morfogénesis , el proceso por el cual se forman patrones en biología . Los Cuatro libros sobre la proporción humana de Albrecht Durer fueron posiblemente los primeros trabajos sobre anatomía computacional. ^{[6] [7] [8]} Los esfuerzos de Noam Chomsky en su trabajo pionero de lingüística computacional inspiraron la formulación original de la anatomía computacional como un modelo generativo de forma y figura a partir de ejemplares sobre los que se actúa mediante transformaciones. ^[9]

Debido a la disponibilidad de mediciones 3D densas a través de tecnologías como la resonancia magnética (MRI), la anatomía computacional ha surgido como un subcampo de la imagenología médica y la bioingeniería para extraer sistemas de coordenadas anatómicas a escala morfomática en 3D. El espíritu de esta disciplina comparte una fuerte superposición con áreas como la visión por computadora y la cinemática de cuerpos rígidos , donde los objetos se estudian analizando los grupos responsables del movimiento en cuestión. La anatomía computacional se aparta de la visión por computadora con su enfoque en los movimientos rígidos, ya que el grupo de difeomorfismos de dimensión infinita es central para el análisis de formas biológicas. Es una rama de la escuela de análisis de imágenes y teoría de patrones en la Universidad de Brown ^[10] iniciada por Ulf Grenander . En la teoría general de patrones métricos de Grenander , convertir espacios de patrones en un espacio métrico es una de las operaciones fundamentales, ya que poder agrupar y reconocer configuraciones anatómicas a menudo requiere una métrica de formas cercanas y lejanas. La métrica difeomorfométrica ^[11] de la anatomía computacional mide la distancia entre dos cambios difeomórficos de coordenadas, lo que a su vez induce una métrica sobre las formas e imágenes indexadas a ellas. Los modelos de la teoría de patrones métricos, ^{[12] [13]} en particular la acción grupal sobre la órbita de formas y figuras, son una herramienta central para las definiciones formales en anatomía computacional.

Historia

La anatomía computacional es el estudio de la forma y la figura a escala milimétrica o morfológica de la anatomía macroscópica , centrándose en el estudio de subvariedades de puntos , curvas, superficies y subvolúmenes de la anatomía humana. Uno de los primeros neuroanatomistas computacionales modernos fue David Van Essen ^[14], que realizó algunos de los primeros despliegues físicos del cerebro humano basándose en la impresión y el corte de una corteza humana. La publicación de las coordenadas de Talairach por parte de Jean Talairach es un hito importante a escala morfomática, que demuestra la base fundamental de los sistemas de coordenadas locales en el estudio de la neuroanatomía y, por lo tanto, el vínculo claro con los gráficos de geometría diferencial . Al mismo tiempo, el mapeo virtual en anatomía computacional a través de coordenadas de imágenes densas de alta resolución ya estaba sucediendo en los primeros desarrollos de Ruzena Bajcy ^[15] y Fred Bookstein ^{[16] basados ​​en} la tomografía axial computarizada y la resonancia magnética . La primera introducción del uso de flujos de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en el análisis de imágenes y la obtención de imágenes médicas fue obra de Christensen, Joshi, Miller y Rabbitt. ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

La primera formalización de la anatomía computacional como una órbita de plantillas ejemplares bajo la acción del grupo de difeomorfismos fue en la conferencia original dada por Grenander y Miller con ese título en mayo de 1997 en el 50 aniversario de la División de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Brown, ^[20] y publicación posterior. ^[9] Esta fue la base para la marcada desviación de gran parte del trabajo previo sobre métodos avanzados para la normalización espacial y el registro de imágenes que históricamente se construyeron sobre nociones de adición y expansión de base. Las transformaciones que preservan la estructura, centrales para el campo moderno de la anatomía computacional, los homeomorfismos y difeomorfismos llevan subvariedades suaves sin problemas. Se generan a través de flujos lagrangianos y eulerianos que satisfacen una ley de composición de funciones que forman la propiedad de grupo, pero no son aditivos.

El modelo original de la anatomía computacional era el de la terna, el grupo , la órbita de formas y las leyes de probabilidad que codifican las variaciones de los objetos en la órbita. La plantilla o conjunto de plantillas son elementos de la órbita de formas. ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de las ecuaciones de movimiento de la anatomía computacional despegaron después de 1997 con varias reuniones fundamentales, incluida la reunión Luminy de 1997 ^[21] organizada por la escuela Azencott ^{[22] en la} Ecole-Normale Cachan sobre "Matemáticas del reconocimiento de formas" y el Trimestre de 1998 en el Instituto Henri Poincaré organizado por David Mumford "Questions Mathématiques en Traitement du Signal et de l'Image" que catalizó los grupos Hopkins-Brown-ENS Cachan y los desarrollos y conexiones posteriores de la anatomía computacional con los desarrollos en el análisis global.

Los avances en anatomía computacional incluyeron el establecimiento de las condiciones de suavidad de Sobolev en la métrica de difeomorfometría para asegurar la existencia de soluciones de problemas variacionales en el espacio de difeomorfismos, ^{[23] [24]} la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange que caracterizan las geodésicas a través del grupo y las leyes de conservación asociadas, ^{[25] [26] [27]} la demostración de las propiedades métricas de la métrica invariante derecha, ^[28] la demostración de que las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un problema de valor inicial bien planteado con soluciones únicas para todos los tiempos, ^[29] y los primeros resultados sobre curvaturas seccionales para la métrica de difeomorfometría en espacios marcados. ^[30] Tras la reunión de Los Álamos en 2002, ^[31 ] las soluciones originales de Joshi ^[32] para grandes deformaciones singulares en anatomía computacional se conectaron con solitones con pico o peakones ^[33] como soluciones para la ecuación de Camassa-Holm . Posteriormente, se realizaron conexiones entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de la anatomía computacional para densidades de momento para la métrica invariante derecha que satisface la suavidad de Sobolev con la caracterización de Vladimir Arnold ^[4] de la ecuación de Euler para flujos incompresibles como descripción de geodésicas en el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen. ^{[34] [35]} Los primeros algoritmos, generalmente denominados LDDMM para el mapeo difeomórfico de gran deformación para calcular conexiones entre puntos de referencia en volúmenes ^{[32] [36] [37]} y variedades esféricas, ^[38] curvas, ^[39] corrientes y superficies, ^{[40] [41] [42]} volúmenes, ^[43] tensores, ^[44] varifolds, ^[45] y series de tiempo ^{[46] [47] [48]} han seguido.

Estas contribuciones de la anatomía computacional al análisis global asociado a las variedades de dimensión infinita de los subgrupos del grupo de difeomorfismos están lejos de ser triviales. La idea original de hacer geometría diferencial, curvatura y geodésicas en variedades de dimensión infinita se remonta a la Habilitation de Bernhard Riemann (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ^{[49] [50]} ); el libro moderno clave que sienta las bases de tales ideas en el análisis global es de Michor. ^[51]

Las aplicaciones dentro de las imágenes médicas de la anatomía computacional continuaron floreciendo después de dos reuniones organizadas en las conferencias del Instituto de Matemáticas Pura y Aplicada ^{[52] [53]} en la Universidad de California, Los Ángeles . La anatomía computacional ha sido útil para crear modelos precisos de la atrofia del cerebro humano a escala morfomática, así como plantillas cardíacas, ^[54] así como para modelar sistemas biológicos. ^[55] Desde fines de la década de 1990, la anatomía computacional se ha convertido en una parte importante del desarrollo de tecnologías emergentes para el campo de las imágenes médicas. Los atlas digitales son una parte fundamental de la educación médica moderna ^{[56] [57]} y en la investigación de neuroimagen a escala morfomática. ^{[58] [59]} Los métodos basados ​​en atlas y los libros de texto virtuales ^[60] que acomodan variaciones como en plantillas deformables están en el centro de muchas plataformas de análisis de neuroimagen, incluyendo Freesurfer, ^[61] FSL, ^[62] MRIStudio, ^[63] SPM. ^[64] El registro difeomórfico, ^[18] introducido en la década de 1990, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas en torno a ANTS, ^[65] DARTEL, ^[66] DEMONS, ^[67] LDDMM, ^[68] StationaryLDDMM, ^[69] FastLDDMM, ^[70] son ​​ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en características dispersas e imágenes densas. La morfometría basada en vóxeles es una tecnología importante construida sobre muchos de estos principios.

El modelo de órbita de plantilla deformable de la anatomía computacional

El modelo de la anatomía humana es una plantilla deformable, una órbita de ejemplares bajo la acción de un grupo. Los modelos de plantillas deformables han sido fundamentales para la teoría de patrones métricos de Grenander, ya que explican la tipicidad a través de plantillas y la variabilidad a través de la transformación de la plantilla. Una órbita bajo la acción de un grupo como representación de la plantilla deformable es una formulación clásica de la geometría diferencial. El espacio de formas se denota con , con el grupo con la ley de composición ; la acción del grupo sobre las formas se denota con , donde la acción del grupo se define para satisfacer ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas, siendo homogénea bajo la acción de los elementos de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Figura que muestra tres estructuras del lóbulo temporal medial: amígdala, corteza entorinal e hipocampo, con puntos de referencia fiduciales representados también incrustados en el fondo de la resonancia magnética.

El modelo de órbita de la anatomía computacional es un álgebra abstracta (que se puede comparar con el álgebra lineal ), ya que los grupos actúan de forma no lineal sobre las formas. Se trata de una generalización de los modelos clásicos del álgebra lineal, en los que el conjunto de vectores de dimensión finita se sustituye por las subvariedades anatómicas de dimensión finita (puntos, curvas, superficies y volúmenes) y las imágenes de las mismas, y las matrices del álgebra lineal se sustituyen por transformaciones de coordenadas basadas en grupos lineales y afines y los grupos difeomorfistas de alta dimensión más generales. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Formas y figuras

Los objetos centrales son formas o figuras en anatomía computacional, un conjunto de ejemplos son las subvariedades de 0,1,2,3 dimensiones de , un segundo conjunto de ejemplos son imágenes generadas a través de imágenes médicas como la resonancia magnética (MRI) y la resonancia magnética funcional . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Superficies de malla trianguladas que representan estructuras subcorticales: amígdala, hipocampo, tálamo, caudado, putamen y ventrículos. Las formas se denotan y se representan como mallas trianguladas. ${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

Las variedades de dimensión 0 son puntos de referencia o puntos fiduciales; las variedades unidimensionales son curvas como las curvas sulcales y giros del cerebro; las variedades bidimensionales corresponden a los límites de las subestructuras en la anatomía, como las estructuras subcorticales del mesencéfalo o la superficie girosa del neocórtex ; los subvolúmenes corresponden a subregiones del cuerpo humano, el corazón , el tálamo , el riñón.

Los puntos de referencia son colecciones de puntos sin otra estructura que delimitan puntos fiduciales importantes dentro de la forma y figura humana (ver imagen asociada con puntos de referencia). Las formas de subvariedades, como las superficies, son colecciones de puntos modelados como parametrizados por un gráfico local o inmersión ( ver figura que muestra formas como superficies de malla). Las imágenes, como las imágenes de RM o las imágenes DTI , son funciones densas que son escalares, vectores y matrices (ver figura que muestra la imagen escalar). ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

Grupos y acciones grupales

Se muestra una sección de resonancia magnética a través de un cerebro en 3D que representa una imagen escalar basada en ponderación T1. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Los grupos y las acciones de grupo son familiares para la comunidad de ingeniería con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como modelo básico para analizar señales y sistemas en ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y matemáticas aplicadas . En álgebra lineal, los grupos de matrices (matrices con inversas) son la estructura central, con la acción de grupo definida por la definición habitual de como una matriz, actuando sobre como vectores; la órbita en álgebra lineal es el conjunto de -vectores dado por , que es una acción de grupo de las matrices a través de la órbita de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

El grupo central en anatomía computacional definido en volúmenes son los difeomorfismos que son aplicaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$ ${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$

Las más populares son las imágenes escalares, , con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa del flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional . ^{[ cita requerida ]}

Flujos lagrangianos y eulerianos para generar difeomorfismos

Para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos , los grupos de Lie matriciales de baja dimensión han sido el foco central. Los grupos matriciales son aplicaciones de baja dimensión, que son difeomorfismos que proporcionan correspondencias biunívocas entre sistemas de coordenadas, con una inversa suave. El grupo matricial de rotaciones y escalas se puede generar a través de matrices de dimensión finita en forma cerrada que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias simples con soluciones dadas por la exponencial matricial.

Para el estudio de la forma deformable en la anatomía computacional, se ha elegido un grupo de difeomorfismos más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en la anatomía computacional se generan mediante flujos suaves que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo , tal como se introdujo por primera vez en ^{[17] [19] [71],} que satisface la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}={\rm {id}}}$

con los campos vectoriales denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones, modelado como un espacio de Hilbert suave de alta dimensión, con el jacobiano del flujo como un campo de alta dimensión en un espacio de funciones también, en lugar de una matriz de baja dimensión como en los grupos de matrices. Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[72] [73]} para grandes deformaciones en la coincidencia de imágenes; es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo . ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

La inversa requerida para el grupo se define en el campo vectorial euleriano con flujo inverso advectivo. ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

El grupo de difeomorfismos de la anatomía computacional

El grupo de difeomorfismos es muy grande. Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos evitando soluciones de tipo choque para la inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio. ^{[74] [75]} Para difeomorfismos en , los campos vectoriales se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga estrictamente más de 2 derivadas espaciales integrables al cuadrado generalizadas (por lo tanto es suficiente), produciendo funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[74] [75]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

donde con el operador lineal mapeado al espacio dual , con la integral calculada por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual. ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

Suavidad de Sobolev y núcleo reproductor Espacio de Hilbert con núcleo de Green

La condición de suavidad de Sobolev en campos vectoriales tal como se modela en un espacio de Hilbert de núcleo reproductor

El enfoque de modelado utilizado en la anatomía computacional impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales al modelar el espacio de los campos vectoriales como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial 1-1 , la inversa de Green . La norma del espacio de Hilbert es inducida por el operador diferencial. Para una función o distribución generalizada, defina la forma lineal como . Esto determina la norma en de acuerdo con ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

Dado que es un operador diferencial, la finitud del cuadrado de la norma incluye derivadas del operador diferencial, lo que implica suavidad de los campos vectoriales . Los argumentos del teorema de incrustación de Sobolev se realizaron en ^{[74] [75],} lo que demuestra que se requiere una derivada 1-continua para flujos suaves. Para la elección adecuada de entonces es un RKHS con el operador denominado operador de Green generado a partir de la función de Green (caso escalar) para el caso del campo vectorial. Los núcleos de Green asociados al operador diferencial suavizan ya que el núcleo es continuamente diferenciable en ambas variables, lo que implica ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Av|v)<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)}$

Cuando , una densidad vectorial, ${\displaystyle \sigma \doteq \mu \,dx}$ ${\displaystyle (\sigma \mid v)\doteq \int v\cdot \mu \,dx.}$

Difeomorfometría: El espacio métrico de formas y figuras

El estudio de las métricas en grupos de difeomorfismos y el estudio de las métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación significativa. ^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]} La métrica de difeomorfometría mide qué tan cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí; la longitud métrica es la longitud más corta del flujo que lleva un sistema de coordenadas al otro.

A menudo, la métrica euclidiana familiar no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial. En el modelo de órbita de Riemann de la anatomía computacional , los difeomorfismos que actúan sobre las formas no actúan linealmente. Hay muchas formas de definir métricas, y para los conjuntos asociados a formas, la métrica de Hausdorff es otra. El método que utilizamos para inducir la métrica de Riemann se utiliza para inducir la métrica en la órbita de las formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre las transformaciones del sistema de coordenadas difeomórficas de los flujos. La medición de las longitudes del flujo geodésico entre sistemas de coordenadas en la órbita de las formas se llama difeomorfometría . ${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$

La métrica invariante por la derecha en difeomorfismos

Definir la distancia en el grupo de difeomorfismos

Esta es la métrica invariante a la derecha de la difeomorfometría, ^{[11] [28]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todo , ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )}$.

La métrica de las formas y figuras

La distancia en las formas y figuras, ^[81] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

Las imágenes ^[28] se denotan con la órbita como y métrica . ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

La integral de acción para el principio de Hamilton sobre flujos difeomórficos

En mecánica clásica, la evolución de los sistemas físicos se describe mediante soluciones a las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al principio de mínima acción de Hamilton . Esta es una forma estándar, por ejemplo, de obtener las leyes de Newton del movimiento de partículas libres. De manera más general, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden derivar para sistemas de coordenadas generalizadas . La ecuación de Euler-Lagrange en anatomía computacional describe los flujos de la ruta más corta geodésica entre sistemas de coordenadas de la métrica del difeomorfismo. En anatomía computacional, las coordenadas generalizadas son el flujo del difeomorfismo y su velocidad lagrangiana , las dos relacionadas a través de la velocidad euleriana . El principio de Hamilton para generar la ecuación de Euler-Lagrange requiere la integral de acción en el lagrangiano dada por ${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$

El lagrangiano viene dado por la energía cinética:

Momento de forma difeomórfica o euleriana

En anatomía computacional, primero se lo llamó momento de forma euleriano o difeomórfico ^[82], ya que cuando se integra con la velocidad euleriana da como resultado la densidad de energía y dado que existe una conservación del momento de forma difeomórfica que se cumple. El operador es el momento de inercia generalizado u operador inercial. ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre el momento de forma para geodésicas en el grupo de difeomorfismos

El cálculo clásico de la ecuación de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton requiere la perturbación del lagrangiano en el campo vectorial en la energía cinética con respecto a la perturbación de primer orden del flujo. Esto requiere un ajuste por el corchete de Lie del campo vectorial , dado por el operador que involucra el jacobiano dado por ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Al definir el adjunto , la variación de primer orden da como resultado el momento de forma euleriana que satisface la ecuación generalizada: ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

significado para todos suave ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

La anatomía computacional es el estudio de los movimientos de subvariedades, puntos, curvas, superficies y volúmenes. El momento asociado a puntos, curvas y superficies es todos singulares, lo que implica que el momento se concentra en subconjuntos de los cuales son dimensión en medida de Lebesgue . En tales casos, la energía todavía está bien definida ya que aunque es una función generalizada, los campos vectoriales son suaves y el momento euleriano se entiende a través de su acción sobre funciones suaves. La ilustración perfecta de esto es incluso cuando es una superposición de delta-diracs, la velocidad de las coordenadas en todo el volumen se mueven suavemente. La ecuación de Euler-Lagrange ( EL-general ) sobre difeomorfismos para funciones generalizadas se derivó en. ^[83] En Riemannian Metric and Lie-Bracket Interpretation of the Euler-Lagrange Equation on Geodesics se proporcionan derivaciones en términos del operador adjunto y el corchete de Lie para el grupo de difeomorfismos. Se la ha denominado ecuación EPDiff para difeomorfismos que se conectan con el método de Euler-Poincaré, habiendo sido estudiada en el contexto del operador inercial para fluidos incompresibles y sin divergencia. ^{[35] [84]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$ ${\displaystyle Av_{t}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle A=identity}$

Momento de forma difeomórfica: una función vectorial clásica

Para el caso de densidad de momento , entonces la ecuación de Euler-Lagrange tiene una solución clásica: ${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre difeomorfismos, definida clásicamente para densidades de momento, apareció por primera vez en ^[85] para el análisis de imágenes médicas.

Exponencial de Riemann (posicionamiento geodésico) y logaritmo de Riemann (coordenadas geodésicas)

En imágenes médicas y anatomía computacional, el posicionamiento y la coordinación de formas son operaciones fundamentales; el sistema para posicionar coordenadas anatómicas y formas construido sobre la métrica y la ecuación de Euler-Lagrange es un sistema de posicionamiento geodésico como el explicado por primera vez en Miller Trouve y Younes. ^[11] La solución de la geodésica a partir de la condición inicial se denomina exponencial de Riemann, una aplicación en la identidad del grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface para la condición inicial la dinámica del campo vectorial . ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• Para la ecuación clásica, forma difeomorfa del momento , entonces ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• Para la ecuación generalizada, entonces , , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Calculando el flujo sobre coordenadas logaritmo de Riemann , ^{[11] [81]} mapeo en identidad de a campo vectorial ; ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

Extendidos a todo el grupo se convierten en

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; . ${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

Estas son inversas entre sí para soluciones únicas del logaritmo; la primera se llama posicionamiento geodésico , la segunda coordenadas geodésicas (ver mapa exponencial, geometría de Riemann para la versión de dimensión finita). La métrica geodésica es un aplanamiento local del sistema de coordenadas de Riemann (ver figura).

Se muestra el aplanamiento local métrico de variedades coordinadas de formas y figuras. La métrica local está dada por la norma del campo vectorial de la representación geodésica. ${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m}$

Formulación hamiltoniana de la anatomía computacional

En anatomía computacional, los difeomorfismos se utilizan para empujar los sistemas de coordenadas, y los campos vectoriales se utilizan como control dentro de la órbita anatómica o el espacio morfológico. El modelo es el de un sistema dinámico, el flujo de coordenadas y el control del campo vectorial se relacionan a través de la vista hamiltoniana ^{[81] [86] [87] [88] [89]} reparametriza la distribución del momento en términos del momento conjugado o momento canónico , introducido como un multiplicador de Lagrange que restringe la velocidad lagrangiana . En consecuencia: ${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

Esta función es el hamiltoniano extendido. El principio del máximo de Pontryagin ^[81] proporciona el campo vectorial optimizador que determina el flujo geodésico que satisface tanto el hamiltoniano reducido como el hamiltoniano ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

El multiplicador de Lagrange en su acción como forma lineal tiene su propio producto interno del momento canónico que actúa sobre la velocidad del flujo que depende de la forma, por ejemplo, para puntos de referencia una suma, para superficies una integral de superficie y para volúmenes es una integral de volumen con respecto a . En todos los casos, los núcleos de Green tienen pesos que son el momento canónico que evoluciona de acuerdo con una ecuación diferencial ordinaria que corresponde a EL pero es la reparametrización geodésica en el momento canónico. El campo vectorial optimizador está dado por ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

con dinámica de momento canónico reparametrizando el campo vectorial a lo largo de la geodésica

Estacionariedad del hamiltoniano y la energía cinética a lo largo de Euler-Lagrange

Mientras que los campos vectoriales se extienden a través de todo el espacio de fondo de , los flujos geodésicos asociados a las subvariedades tienen un momento de forma euleriana que evoluciona como una función generalizada concentrada en las subvariedades. Para los puntos de referencia ^{[90] [91] [92]} las geodésicas tienen un momento de forma euleriana que es una superposición de distribuciones delta que viajan con un número finito de partículas; el flujo difeomórfico de coordenadas tiene velocidades en el rango de los núcleos de Green ponderados. Para las superficies, el momento es una integral de superficie de las distribuciones delta que viajan con la superficie. ^[11] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

Las geodésicas que conectan sistemas de coordenadas que satisfacen EL-general tienen estacionariedad del lagrangiano. El hamiltoniano está dado por el extremo a lo largo de la trayectoria , , que es igual a la energía cinética lagrangiana y es estacionario a lo largo de EL-general . Definiendo la velocidad geodésica en la identidad , entonces a lo largo de la geodésica ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)}$ ${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)}$

La estacionariedad del hamiltoniano demuestra la interpretación del multiplicador de Lagrange como momento; integrado contra la velocidad da densidad de energía. El momento canónico tiene muchos nombres. En el control óptimo , los flujos se interpretan como el estado, y se interpreta como estado conjugado o momento conjugado. ^[93] La geodesia de EL implica la especificación de los campos vectoriales o momento euleriano en , o la especificación del momento canónico determina el flujo. ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p_{0}}$

La métrica de los flujos geodésicos de puntos de referencia, superficies y volúmenes dentro de la órbita.

En anatomía computacional, las subvariedades son conjuntos de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes que son los primitivos básicos. Los flujos geodésicos entre las subvariedades determinan la distancia y forman las herramientas básicas de medición y transporte de la difeomorfometría . En la geodésica hay un campo vectorial determinado por el momento conjugado y el núcleo de Green del operador inercial que define el momento euleriano . La distancia métrica entre sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica está determinada por la distancia inducida entre el elemento identidad y el elemento de grupo: ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

Leyes de conservaciónSobre el momento de forma difeomórfica para la anatomía computacional

Dada la acción mínima, existe una definición natural del momento asociado a las coordenadas generalizadas; la cantidad que actúa contra la velocidad da energía. El campo ha estudiado dos formas, el momento asociado al campo vectorial euleriano denominado momento de forma difeomórfica euleriana y el momento asociado a las coordenadas iniciales o coordenadas canónicas denominado momento de forma difeomórfica canónica . Cada una tiene una ley de conservación. La conservación del momento va de la mano con la EL-general . En anatomía computacional, es el momento euleriano ya que cuando se integra contra la velocidad euleriana da densidad de energía; operador el momento de inercia generalizado u operador inercial que actuando sobre la velocidad euleriana da momento que se conserva a lo largo de la geodésica: ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La conservación del momento de forma euleriana se demostró en ^[94] y se desprende de EL-general ; la conservación del momento canónico se demostró en ^[81].

Prueba de conservación

La prueba se sigue de la definición , lo que implica ${\displaystyle w_{t}=((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})+(Av_{t}\mid {\frac {d}{dt}}((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid w_{t})+(Av_{t}\mid (Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.}$

La prueba del momento canónico se muestra a partir de : ${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}^{T}p_{t}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(p_{t}\mid (D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid {\frac {d}{dt}}(D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid (Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}(D\varphi _{t})w)=0}$.

Interpolación geodésica de información entre sistemas de coordenadas mediante problemas variacionales

La construcción de correspondencias difeomórficas entre formas calcula las coordenadas iniciales del campo vectorial y los pesos asociados en los núcleos de Greens . Estas coordenadas iniciales se determinan mediante la correspondencia de formas, llamada mapeo métrico difeomórfico de deformación grande (LDDMM) . LDDMM se ha resuelto para puntos de referencia con y sin correspondencia ^{[32] [95] [96] [97] [98]} y para correspondencias de imágenes densas. ^{[99] [100]} curvas, ^[101] superficies, ^{[41] [102]} imágenes densas de vector ^[103] y tensor ^[104] y varifolds que eliminan la orientación. ^[105] LDDMM calcula flujos geodésicos de la EL-general sobre coordenadas de destino, agregando a la integral de acción una condición de correspondencia de punto final que mide la correspondencia de elementos en la órbita bajo la transformación del sistema de coordenadas. Se examinó la existencia de soluciones para la correspondencia de imágenes. ^[24] La solución del problema variacional satisface la EL-general para con condición de contorno. ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$ ${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$

Coincidencia basada en la minimización de la acción de energía cinética con la condición del punto final

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}}$

La conservación de la EL-general extiende el BC en al resto de la trayectoria . El problema de coincidencia inexacta con el término de coincidencia de punto final tiene varias formas alternativas. Una de las ideas clave de la estacionariedad del hamiltoniano a lo largo de la solución geodésica es que el costo de funcionamiento integrado se reduce al costo inicial en t  = 0, las geodésicas de la EL-general están determinadas por su condición inicial . ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle v_{0}}$

El coste de funcionamiento se reduce al coste inicial determinado por Kernel -Surf.-Land.-Geodesics . ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

Coincidencia basada en disparo geodésico

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}}$

El problema de correspondencia explícitamente indexado a la condición inicial se llama disparo, que también puede repararse a través del momento conjugado . ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Coincidencia de imágenes densas en anatomía computacional

La comparación de imágenes densas tiene una larga historia, con los primeros esfuerzos ^{[106] [107]} que explotaban un marco de deformación pequeño. Las deformaciones grandes comenzaron a principios de los años 1990, ^{[18] [19]} con la primera existencia de soluciones al problema variacional para flujos de difeomorfismos para la comparación de imágenes densas establecida en ^[24] . Beg se resolvió a través de uno de los primeros algoritmos LDDMM basados ​​en la solución de la comparación variacional con el punto final definido por las imágenes densas con respecto a los campos vectoriales, tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[99] Otra solución para la comparación de imágenes densas reparametriza el problema de optimización en términos del estado que da la solución en términos de la acción infinitesimal definida por la ecuación de advección . ^{[11] [27] [100]} ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

LDDMMcoincidencia de imágenes densas

Para el LDDMM de Beg, denote la imagen con la acción del grupo . Al considerar esto como un problema de control óptimo, el estado del sistema es el flujo difeomórfico de coordenadas , con la dinámica que relaciona el control con el estado dado por . La condición de coincidencia de puntos finales da el problema variacional ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

El algoritmo LDDMM iterativo de Beg tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias del optimizador. El algoritmo iterativo se proporciona en Algoritmo LDDMM de Beg para la coincidencia de imágenes densas .

Hamiltoniano LDDMM en el estado de convección reducido

Denote la imagen , con el estado y la dinámica relacionada con el estado y el control dados por el término advectivo . El punto final da el problema variacional ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

El LDDMM hamiltoniano iterativo de Viallard tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones optimizadoras necesarias.

Correspondencia de imágenes del tensor de difusión en anatomía computacional

Imagen que muestra una imagen del tensor de difusión con tres niveles de color que representan las orientaciones de los tres vectores propios de la imagen matricial , imagen con valores matriciales; cada uno de los tres colores representa una dirección. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

La coincidencia de tensor LDDMM densa ^{[104] [108]} toma las imágenes como vectores 3x1 y tensores 3x3 que resuelven el problema variacional de coincidencia entre sistemas de coordenadas basados ​​en los vectores propios principales de la imagen de resonancia magnética del tensor de difusión (DTI) denotada que consiste en el tensor en cada vóxel. Varias de las acciones de grupo se definen en función de la norma de matriz de Frobenius entre matrices cuadradas . En la figura adjunta se muestra una imagen DTI ilustrada a través de su mapa de colores que representa las orientaciones de los vectores propios de la matriz DTI en cada vóxel con el color determinado por la orientación de las direcciones. Denote la imagen del tensor con elementos propios , . ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

La transformación del sistema de coordenadas basada en imágenes DTI ha explotado dos acciones: una basada en el principio del vector propio o la matriz completa .

La correspondencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen como un campo vectorial unitario definido por el primer vector propio. La acción de grupo se convierte en ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La coincidencia LDDMM basada en toda la matriz tensorial hace que la acción del grupo se convierta en vectores propios transformados ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

El problema variacional de correspondencia con el vector propio principal o la matriz se describe en LDDMM Tensor Image Matching .

Correspondencia de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI) en anatomía computacional

La difusión por imágenes de alta resolución angular (HARDI) aborda la limitación bien conocida de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación dominante de la fibra en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibra más complejas. HARDI se puede utilizar para reconstruir una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. La ODF es una función definida en una esfera unitaria, . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

El emparejamiento denso LDDMM ODF ^[109] toma los datos HARDI como ODF en cada vóxel y resuelve el problema variacional LDDMM en el espacio de ODF. En el campo de la geometría de la información , ^[110] el espacio de ODF forma una variedad de Riemann con la métrica de Fisher-Rao. Para el propósito del mapeo LDDMM ODF, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha ya que las diversas operaciones de Riemann, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas logarítmicos, están disponibles en forma cerrada. En lo siguiente, denote la raíz cuadrada ODF ( ) como , donde no es negativo para asegurar la unicidad y . El problema variacional para el emparejamiento supone que se pueden generar dos volúmenes ODF de uno a otro a través de flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir del mapa identidad . Denotemos la acción del difeomorfismo sobre la plantilla como , , son respectivamente las coordenadas de la esfera unitaria y el dominio de la imagen, con el objetivo indexado de manera similar, , , . ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$

La acción grupal del difeomorfismo sobre la plantilla se da de acuerdo con

${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,

donde es el jacobiano del ODF transformado afín y se define como ${\displaystyle (D\varphi _{1})}$

${\displaystyle (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).}$

Esta acción grupal de difeomorfismos en ODF reorienta a ODF y refleja cambios tanto en la magnitud de como en las direcciones de muestreo de debido a la transformación afín. Garantiza que la fracción de volumen de fibras orientadas hacia un parche pequeño debe permanecer igual después de que el parche se transforme. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.}$

donde el logaritmo de se define como ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle \|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),}$

donde es el producto escalar normal entre puntos en la esfera bajo la métrica. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

Este algoritmo de mapeo LDDMM-ODF se ha utilizado ampliamente para estudiar la degeneración de la materia blanca cerebral en el envejecimiento, la enfermedad de Alzheimer y la demencia vascular. ^[111] El atlas de materia blanca cerebral generado en base a ODF se construye a través de estimación bayesiana. ^[112] El análisis de regresión en ODF se desarrolla en el espacio de la variedad ODF en. ^[113]

Metamorfosis

Demostración de la metamorfosis que permite tanto el cambio difeomórfico en la transformación de coordenadas como el cambio en la intensidad de la imagen, tal como se asocia con las primeras tecnologías de transformación, como el video de Michael Jackson. Observe la inserción de la intensidad del nivel de gris del tumor, que no existe en la plantilla.

The principle mode of variation represented by the orbit model is change of coordinates. For setting in which pairs of images are not related by diffeomorphisms but have photometric variation or image variation not represented by the template, active appearance modelling has been introduced, originally by Edwards-Cootes-Taylor^[114] and in 3D medical imaging in.^[115] In the context of computational anatomy in which metrics on the anatomical orbit has been studied, metamorphosis for modelling structures such as tumors and photometric changes which are not resident in the template was introduced in^[28] for magnetic resonance image models, with many subsequent developments extending the metamorphosis framework.^{[116][117][118]}

For image matching the image metamorphosis framework enlarges the action so that ${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$ with action ${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$. In this setting metamorphosis combines both the diffeomorphic coordinate system transformation of computational anatomy as well as the early morphing technologies which only faded or modified the photometric or image intensity alone.

Then the matching problem takes a form with equality boundary conditions:

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

Matching landmarks, curves, surfaces

Transforming coordinate systems based on Landmark point or fiducial marker features dates back to Bookstein's early work on small deformation spline methods^[119] for interpolating correspondences defined by fiducial points to the two-dimensional or three-dimensional background space in which the fiducials are defined. Large deformation landmark methods came on in the late 1990s.^{[26][32][120]} The above Figure depicts a series of landmarks associated three brain structures, the amygdala, entorhinal cortex, and hippocampus.

Matching geometrical objects like unlabelled point distributions, curves or surfaces is another common problem in computational anatomy. Even in the discrete setting where these are commonly given as vertices with meshes, there are no predetermined correspondences between points as opposed to the situation of landmarks described above. From the theoretical point of view, while any submanifold ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, ${\displaystyle d=1,2,3}$ can be parameterized in local charts ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$, all reparametrizations of these charts give geometrically the same manifold. Therefore, early on in computational anatomy, investigators have identified the necessity of parametrization invariant representations. One indispensable requirement is that the end-point matching term between two submanifolds is itself independent of their parametrizations. This can be achieved via concepts and methods borrowed from Geometric measure theory, in particular currents^[40] and varifolds^[45] which have been used extensively for curve and surface matching.

Landmark or point matching with correspondence

Illustration of geodesic flow for one landmark, demonstrating diffeomorphic motion of background space. Red arrow shows ${\displaystyle p_{0}(1)}$, blue curve shows ${\displaystyle \varphi _{t}(x_{1})}$, black grid shows ${\displaystyle \varphi _{t}}$

Figure showing landmark matching with correspondence. Left and right panels depict two different kernel with solutions.

Denoted the landmarked shape ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$ with endpoint ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$, the variational problem becomes

The geodesic Eulerian momentum is a generalized function ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$, supported on the landmarked set in the variational problem. The endpoint condition with conservation implies the initial momentum at the identity of the group:

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

The iterative algorithm for large deformation diffeomorphic metric mapping for landmarks is given.

Measure matching: unregistered landmarks

Glaunes and co-workers first introduced diffeomorphic matching of pointsets in the general setting of matching distributions.^[121] As opposed to landmarks, this includes in particular the situation of weighted point clouds with no predefined correspondences and possibly different cardinalities. The template and target discrete point clouds are represented as two weighted sums of Diracs ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$ and ${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$ living in the space of signed measures of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. The space is equipped with a Hilbert metric obtained from a real positive kernel ${\displaystyle k(x,y)}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, giving the following norm:

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

The matching problem between a template and target point cloud may be then formulated using this kernel metric for the endpoint matching term:

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

where ${\displaystyle \mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}}$ is the distribution transported by the deformation.

Curve matching

In the one dimensional case, a curve in 3D can be represented by an embedding ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$, and the group action of Diff becomes ${\displaystyle \varphi \cdot m=\varphi \circ m}$. However, the correspondence between curves and embeddings is not one to one as the any reparametrization ${\displaystyle m\circ \gamma }$, for ${\displaystyle \gamma }$ a diffeomorphism of the interval [0,1], represents geometrically the same curve. In order to preserve this invariance in the end-point matching term, several extensions of the previous 0-dimensional measure matching approach can be considered.

• Curve matching with currents

In the situation of oriented curves, currents give an efficient setting to construct invariant matching terms. In such representation, curves are interpreted as elements of a functional space dual to the space vector fields, and compared through kernel norms on these spaces. Matching of two curves ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle m^{\prime }}$ writes eventually as the variational problem

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

with the endpoint term ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$ is obtained from the norm

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

the derivative ${\displaystyle \partial m(u)}$ being the tangent vector to the curve and ${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$ a given matrix kernel of ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$. Such expressions are invariant to any positive reparametrizations of ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle m'}$, and thus still depend on the orientation of the two curves.

• Curve matching with varifolds

Varifold is an alternative to currents when orientation becomes an issue as for instance in situations involving multiple bundles of curves for which no "consistent" orientation may be defined. Varifolds directly extend 0-dimensional measures by adding an extra tangent space direction to the position of points, leading to represent curves as measures on the product of ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ and the Grassmannian of all straight lines in ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$. The matching problem between two curves then consists in replacing the endpoint matching term by ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2}$ with varifold norms of the form:

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

where ${\displaystyle [\partial m(u)]}$ is the non-oriented line directed by tangent vector ${\displaystyle \partial m(u)}$ and ${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$ two scalar kernels respectively on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ and the Grassmannian. Due to the inherent non-oriented nature of the Grassmannian representation, such expressions are invariant to positive and negative reparametrizations.

Surface matching

Surface matching share many similarities with the case of curves. Surfaces in ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ are parametrized in local charts by embeddings ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$, with all reparametrizations ${\displaystyle m\circ \gamma }$ with ${\displaystyle \gamma }$ a diffeomorphism of U being equivalent geometrically. Currents and varifolds can be also used to formalize surface matching.

• Surface matching with currents

Oriented surfaces can be represented as 2-currents which are dual to differential 2-forms. In ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, one can further identify 2-forms with vector fields through the standard wedge product of 3D vectors. In that setting, surface matching writes again:

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

with the endpoint term ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$ given through the norm

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

with ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$ the normal vector to the surface parametrized by ${\displaystyle m}$.

This surface mapping algorithm has been validated for brain cortical surfaces against CARET and FreeSurfer.^[122] LDDMM mapping for multiscale surfaces is discussed in.^[123]

• Surface matching with varifolds

For non-orientable or non-oriented surfaces, the varifold framework is often more adequate. Identifying the parametric surface ${\displaystyle m}$ with a varifold ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$ in the space of measures on the product of ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ and the Grassmannian, one simply replaces the previous current metric ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$ by:

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

where ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$ is the (non-oriented) line directed by the normal vector to the surface.

Growth and atrophy from longitudinal time-series

There are many settings in which there are a series of measurements, a time-series to which the underlying coordinate systems will be matched and flowed onto. This occurs for example in the dynamic growth and atrophy models and motion tracking such as have been explored in^{[46][124][125][126]} An observed time sequence is given and the goal is to infer the time flow of geometric change of coordinates carrying the exemplars or templars through the period of observations.

The generic time-series matching problem considers the series of times is ${\displaystyle 0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1}$. The flow optimizes at the series of costs ${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\ldots ,K}$ giving optimization problems of the form

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})}$.

There have been at least three solutions offered thus far, piecewise geodesic,^[46] principal geodesic^[126] and splines.^[127]

The random orbit model of computational anatomy

Orbits of brains associated to diffeomorphic group action on templates depicted via smooth flow associated to geodesic flows with random spray associated to random generation of initial tangent space vector field ${\displaystyle v_{0}\in V}$; published in.^[11]

The random orbit model of computational anatomy first appeared in^{[128][129][130]} modelling the change in coordinates associated to the randomness of the group acting on the templates, which induces the randomness on the source of images in the anatomical orbit of shapes and forms and resulting observations through the medical imaging devices. Such a random orbit model in which randomness on the group induces randomness on the images was examined for the Special Euclidean Group for object recognition in.^[131]

Depicted in the figure is a depiction of the random orbits around each exemplar, ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$, generated by randomizing the flow by generating the initial tangent space vector field at the identity ${\displaystyle v_{0}\in V}$, and then generating random object ${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$.

The random orbit model induces the prior on shapes and images ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ conditioned on a particular atlas ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$. For this the generative model generates the mean field ${\displaystyle I}$ as a random change in coordinates of the template according to ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$, where the diffeomorphic change in coordinates is generated randomly via the geodesic flows. The prior on random transformations ${\displaystyle \pi _{\text{Diff}}(d\varphi )}$ on ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ is induced by the flow ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)}$, with ${\displaystyle v\in V}$ constructed as a Gaussian random field prior ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$. The density on the random observables at the output of the sensor ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$ are given by

Figure showing the random spray of synthesized subcortical structures laid out in the two-dimensional grid representing the variance of the eigenfunction used for the momentum for synthesis.

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

Shown in the Figure on the right the cartoon orbit are a random spray of the subcortical manifolds generated by randomizing the vector fields ${\displaystyle v_{0}}$ supported over the submanifolds.

The Bayesian model of computational anatomy

Source-channel model showing the source of images the deformable template ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ and channel output associated with MRI sensor ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

The central statistical model of computational anatomy in the context of medical imaging has been the source-channel model of Shannon theory;^{[128][129][130]} the source is the deformable template of images ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$, the channel outputs are the imaging sensors with observables ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ (see Figure).

See The Bayesian model of computational anatomy for discussions (i) MAP estimation with multiple atlases, (ii) MAP segmentation with multiple atlases, MAP estimation of templates from populations.

Statistical shape theory in computational anatomy

Shape in computational anatomy is a local theory, indexing shapes and structures to templates to which they are bijectively mapped. Statistical shape in computational anatomy is the empirical study of diffeomorphic correspondences between populations and common template coordinate systems. This is a strong departure from Procrustes Analyses and shape theories pioneered by David G. Kendall^[132] in that the central group of Kendall's theories are the finite-dimensional Lie groups, whereas the theories of shape in computational anatomy^{[133][134][135]} have focused on the diffeomorphism group, which to first order via the Jacobian can be thought of as a field–thus infinite dimensional–of low-dimensional Lie groups of scale and rotations.

Figure showing hundreds of sub-cortical structures embedded in two-dimensional momentum space generated from the first two eigenvectors of the empirical co-variance estimated from the population of shapes.

The random orbit model provides the natural setting to understand empirical shape and shape statistics within computational anatomy since the non-linearity of the induced probability law on anatomical shapes and forms ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ is induced via the reduction to the vector fields ${\displaystyle v_{0}\in V}$ at the tangent space at the identity of the diffeomorphism group. The successive flow of the Euler equation induces the random space of shapes and forms ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$.

Performing empirical statistics on this tangent space at the identity is the natural way for inducing probability laws on the statistics of shape. Since both the vector fields and the Eulerian momentum ${\displaystyle Av_{0}}$ are in a Hilbert space the natural model is one of a Gaussian random field, so that given test function ${\displaystyle w\in V}$, then the inner-products with the test functions are Gaussian distributed with mean and covariance.

This is depicted in the accompanying figure where sub-cortical brain structures are depicted in a two-dimensional coordinate system based on inner products of their initial vector fields that generate them from the template is shown in a 2-dimensional span of the Hilbert space.

Template estimation from populations

Depicting template estimation from multiplie subcortical surfaces in populations of MR images using the EM-algorithm solution of Ma.^[136]

The study of shape and statistics in populations are local theories, indexing shapes and structures to templates to which they are bijectively mapped. Statistical shape is then the study of diffeomorphic correspondences relative to the template. A core operation is the generation of templates from populations, estimating a shape that is matched to the population. There are several important methods for generating templates including methods based on Frechet averaging,^[137] and statistical approaches based on the expectation-maximization algorithm and the Bayes Random orbit models of computational anatomy.^[136][138] Shown in the accompanying figure is a subcortical template reconstruction from the population of MRI subjects.^[139]

Software for diffeomorphic mapping

Software suites containing a variety of diffeomorphic mapping algorithms include the following:

• ANTS^[65]
• DARTEL^[66] Voxel-based morphometry
• DEFORMETRICA^[140]
• DEMONS^[67]
• LDDMM^[68] Large deformation diffeomorphic metric mapping
• LDDMM based on frame-based kernel ^[141]
• StationaryLDDMM^[69]

Cloud software

• MRICloud^[142]

See also

• Bayesian estimation of templates in computational anatomy
• Computational neuroanatomy
• Geometric data analysis
• Large deformation diffeomorphic metric mapping
• Procrustes analysis
• Riemannian metric and Lie-bracket in computational anatomy
• Shape analysis (disambiguation)
• Statistical shape analysis

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