Espacio de modulación

Los espacios de modulación ^[1] son ​​una familia de espacios de Banach definidos por el comportamiento de la transformada de Fourier de corta duración con respecto a una función de prueba del espacio de Schwartz . Fueron propuestos originalmente por Hans Georg Feichtinger y se reconocen como el tipo correcto de espacios de funciones para el análisis de tiempo-frecuencia . El álgebra de Feichtinger , aunque originalmente se introdujo como una nueva álgebra de Segal, ^{[2] es idéntica a un cierto espacio de modulación y se ha convertido en un espacio de} funciones de prueba ampliamente utilizado para el análisis de tiempo-frecuencia.

Los espacios de modulación se definen de la siguiente manera. Para , una función no negativa en y una función de prueba , el espacio de modulación se define por ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle m(x,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|V_{g}f(x,\omega )|^{p}m(x,\omega )^{p}dx\right)^{q/p}d\omega \right)^{1/q}<\infty \right\}.}$

En la ecuación anterior, denota la transformada de Fourier de corto plazo de con respecto a evaluada en , es decir ${\displaystyle V_{g}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x,\omega )}$

${\displaystyle V_{g}f(x,\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(t){\overline {g(t-x)}}e^{-2\pi it\cdot \omega }dt={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}({\overline {{\hat {g}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi +\omega ))(x).}$

En otras palabras, es equivalente a . El espacio es el mismo, independientemente de la función de prueba elegida. La opción canónica es una gaussiana . ${\displaystyle f\in M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle V_{g}f\in L_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{2d})}$ ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$

También tenemos una definición de tipo Besov de espacios de modulación como sigue. ^[3]

${\displaystyle M_{p,q}^{s}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}\langle k\rangle ^{sq}\|\psi _{k}(D)f\|_{p}^{q}\right)^{1/q}<\infty \right\},\langle x\rangle :=|x|+1}$,

donde es una partición unitaria adecuada. Si , entonces . ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$ ${\displaystyle m(x,\omega )=\langle \omega \rangle ^{s}}$ ${\displaystyle M_{p,q}^{s}=M_{m}^{p,q}}$

Álgebra de Feichtinger

Para y , el espacio de modulación se conoce con el nombre de álgebra de Feichtinger y a menudo se denota por ser el álgebra de Segal mínima invariante bajo cambios de tiempo-frecuencia, es decir, operadores combinados de traducción y modulación. es un espacio de Banach incluido en , y es invariante bajo la transformada de Fourier. Es por estas y más propiedades que es una elección natural del espacio de funciones de prueba para el análisis de tiempo-frecuencia. La transformada de Fourier es un automorfismo en . ${\displaystyle p=q=1}$ ${\displaystyle m(x,\omega )=1}$ ${\displaystyle M_{m}^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})=M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\cap C_{0}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M^{1,1}}$

Referencias

1. Fundamentos del análisis tiempo-frecuencia por Karlheinz Gröchenig
2. H. Feichtinger. "Sobre una nueva álgebra de Segal" Monatsh. Matemáticas. 92:269–289, 1981.
3. BX Wang, ZH Huo, CC Hao y ZH Guo. Método de análisis armónico para ecuaciones de evolución no lineal. World Scientific, 2011.