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Medida completa

En matemáticas , una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medida completo ) es un espacio de medida en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (tiene medida cero ). Más formalmente, un espacio de medida ( X , Σ,  μ ) es completo si y solo si [1] [2]

Motivación

La necesidad de considerar cuestiones de completitud se puede ilustrar considerando el problema de los espacios de productos.

Supongamos que ya hemos construido la medida de Lebesgue en la línea real : denotemos este espacio de medida por Ahora deseamos construir una medida de Lebesgue bidimensional en el plano como una medida del producto . Ingenuamente, tomaríamos el álgebra de como el álgebra más pequeña que contiene todos los "rectángulos" medibles para

Si bien este enfoque define un espacio de medida , tiene un defecto. Dado que cada conjunto singleton tiene una medida de Lebesgue unidimensional cero, para cualquier subconjunto de Sin embargo, supongamos que es un subconjunto no medible de la línea real, como el conjunto de Vitali . Entonces la -medida de no está definida pero y este conjunto más grande tiene -medida cero. Por lo tanto, esta "medida de Lebesgue bidimensional" tal como se acaba de definir no es completa y se requiere algún tipo de procedimiento de compleción.

Construcción de una medida completa

Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) ( X , Σ ,  μ ), existe una extensión ( X , Σ 0μ 0 ) de este espacio de medida que es completa. [3] La extensión más pequeña de este tipo (es decir, la σ -álgebra más pequeña Σ 0 ) se denomina completitud del espacio de medida.

La terminación se puede construir de la siguiente manera:

Entonces ( X , Σ 0μ 0 ) es un espacio de medida completo, y es la completitud de ( X , Σ,  μ ).

En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ 0 es de la forma A  ∪  B para algún A  ∈ Σ y algún B  ∈  Z , y

Ejemplos

Propiedades

El teorema de Maharam establece que todo espacio de medida completo es descomponible en medidas en continuos y una medida de conteo finita o contable .

Véase también

Referencias

  1. ^ Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 18. Nueva York, NY: Springer New York. p. 31. doi :10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6.
  2. ^ de Barra, G. (2003). Teoría de la medida e integración. Woodhead Publishing Limited. pág. 94. doi :10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6.
  3. ^ Rudin, Walter (2013). Análisis real y complejo . McGraw-Hill International Editions Mathematics series (3. ed., ed. internat., ed. [Nachdr.]). Nueva York, NY: McGraw-Hill. pp. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1.