Diseño compuesto central

En estadística , un diseño compuesto central es un diseño experimental, útil en la metodología de superficie de respuesta , para construir un modelo de segundo orden (cuadrático) para la variable de respuesta sin necesidad de utilizar un experimento factorial completo de tres niveles .

Una vez realizado el experimento diseñado, se utiliza la regresión lineal , a veces de forma iterativa, para obtener los resultados. A menudo se utilizan variables codificadas al construir este diseño.

Implementación

El diseño consta de tres conjuntos distintos de ejecuciones experimentales:

1. Un diseño factorial (quizás fraccional ) en los factores estudiados, cada uno con dos niveles;
2. Un conjunto de puntos centrales , ejecuciones experimentales cuyos valores de cada factor son las medianas de los valores utilizados en la parte factorial. Este punto se suele replicar para mejorar la precisión del experimento;
3. Conjunto de puntos axiales , ejecuciones experimentales idénticas a los puntos centrales, excepto por un factor, que adoptará valores tanto por debajo como por encima de la mediana de los dos niveles factoriales, y normalmente ambos fuera de su rango. Todos los factores se varían de esta manera.

Matriz de diseño

La matriz de diseño para un experimento de diseño compuesto central que involucra k factores se deriva de una matriz, d , que contiene las siguientes tres partes diferentes correspondientes a los tres tipos de ejecuciones experimentales:

1. La matriz F obtenida del experimento factorial. Los niveles de los factores están escalados de modo que sus entradas se codifican como +1 y -1.
2. La matriz C de los puntos centrales, denotada en variables codificadas como (0,0,0,...,0), donde hay k ceros.
3. Una matriz E a partir de los puntos axiales, con 2 k filas. Cada factor se coloca secuencialmente en ±α y todos los demás factores están en cero. El valor de α lo determina el diseñador; si bien es arbitrario, algunos valores pueden otorgarle al diseño propiedades deseables. Esta parte se vería así:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{-\alpha }&0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\alpha &0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&{-\alpha }&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &{}&{}&{}&{}&{}&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &\alpha \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &{-\alpha }\\\end{bmatrix}}.}$

Entonces d es la concatenación vertical:

${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}\mathbf {F} \\\mathbf {C} \\\mathbf {E} \end{bmatrix}}.}$

La matriz de diseño X utilizada en la regresión lineal es la concatenación horizontal de una columna de 1 (intersección), d , y todos los productos elemento por elemento de un par de columnas de d :

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {1} &\mathbf {d} &\mathbf {d} (1)\times \mathbf {d} (2)&\mathbf {d} (1)\times \mathbf {d} (3)&\cdots &\mathbf {d} (k-1)\times \mathbf {d} (k)&\mathbf {d} (1)^{2}&\mathbf {d} (2)^{2}&\cdots &\mathbf {d} (k)^{2}\end{bmatrix}},}$

donde d ( i ) representa la i ésima columna en d .

Elección de α

Existen muchos métodos diferentes para seleccionar un valor útil de α. Sea F el número de puntos debido al diseño factorial y T = 2 k + n el número de puntos adicionales, donde n es el número de puntos centrales en el diseño. Los valores comunes son los siguientes (Myers, 1971):

1. Diseño ortogonal: : , donde ; ${\displaystyle \alpha =(Q\times F/4)^{1/4}\,\!}$ ${\displaystyle Q=({\sqrt {F+T}}-{\sqrt {F}})^{2}}$
2. Diseño rotatorio : α = F ^1/4 (el diseño implementado por la función ccdesign de MATLAB ).

Aplicación de diseños compuestos centrales para optimización

Se pueden emplear métodos estadísticos como la metodología de superficie de respuesta para maximizar la producción de una sustancia especial mediante la optimización de los factores operativos. A diferencia de los métodos convencionales, la interacción entre las variables del proceso se puede determinar mediante técnicas estadísticas. Por ejemplo, en un estudio, se empleó un diseño compuesto central para investigar el efecto de los parámetros críticos del pretratamiento de la paja de arroz con organosolv, incluidos la temperatura, el tiempo y la concentración de etanol. Se seleccionaron como variables de respuesta el sólido residual, la recuperación de lignina y el rendimiento de hidrógeno. ^[1]

Referencias

1. Asadi, Nooshin; Zilouei, Hamid (marzo de 2017). "Optimización del pretratamiento organosolv de la paja de arroz para mejorar la producción de biohidrógeno utilizando Enterobacter aerogenes". Tecnología de recursos biológicos . 227 : 335–344. doi :10.1016/j.biortech.2016.12.073. PMID  28042989.

Myers, Raymond H. Metodología de superficies de respuesta . Boston: Allyn and Bacon, Inc., 1971