Cuadrado

Cuadrilátero regular

En geometría euclidiana , un cuadrado es un cuadrilátero regular , lo que significa que tiene cuatro lados de igual longitud y cuatro ángulos iguales (ángulos de 90 grados , ángulos de π/2 radianes o ángulos rectos ). También se puede definir como un rectángulo con dos lados adyacentes de igual longitud. Es el único polígono regular cuyo ángulo interno , ángulo central y ángulo externo son todos iguales (90°), y cuyas diagonales son todas iguales en longitud. Un cuadrado con vértices ABCD se denotaría ABCD . ^[1] ${\displaystyle \square }$

Caracterizaciones

Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es cualquiera de los siguientes: ^{[2] [3]}

• Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
• Un rombo con un ángulo en el vértice recto
• Un rombo con todos los ángulos iguales
• Un paralelogramo con un ángulo en el vértice recto y dos lados adyacentes iguales.
• Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrilátero donde las diagonales son iguales y son las bisectrices perpendiculares entre sí (es decir, un rombo con diagonales iguales)
• Un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es ^{[4] : ​​Corolario 15} ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

Propiedades

Un cuadrado es un caso especial de un rombo (lados iguales, ángulos opuestos iguales), una cometa (dos pares de lados adyacentes iguales), un trapezoide (un par de lados opuestos paralelos), un paralelogramo (todos los lados opuestos paralelos), un cuadrilátero o tetrágono (polígono de cuatro lados) y un rectángulo (lados opuestos iguales, ángulos rectos), y por lo tanto tiene todas las propiedades de todas estas formas, a saber: ^[5]

• Los cuatro ángulos internos de un cuadrado son iguales (cada uno mide 360°/4 = 90°, un ángulo recto).
• El ángulo central de un cuadrado es igual a 90° (360°/4).
• El ángulo exterior de un cuadrado es igual a 90°.
• Las diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan entre sí, encontrándose en 90°.
• La diagonal de un cuadrado biseca su ángulo interno, formando ángulos adyacentes de 45°.
• Los cuatro lados de un cuadrado son iguales.
• Los lados opuestos de un cuadrado son paralelos .

Un cuadrado tiene el símbolo de Schläfli {4}. Un cuadrado truncado , t{4}, es un octógono , {8}. Un cuadrado alternado , h{4}, es un dígono , {2}. El cuadrado es el caso n = 2 de las familias de n - hipercubos y n - ortoplexos .

Perímetro y área

El área de un cuadrado es el producto de la longitud de sus lados.

El perímetro de un cuadrado cuyos cuatro lados tienen longitud es ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

y el área A es

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[1]

Como cuatro al cuadrado es igual a dieciséis, un cuadrado de cuatro por cuatro tiene un área igual a su perímetro. El único otro cuadrilátero con esta propiedad es el rectángulo de tres por seis.

En la época clásica , la segunda potencia se describía en términos del área de un cuadrado, como en la fórmula anterior. Esto llevó a que se utilizara el término cuadrado para significar la elevación a la segunda potencia.

El área también se puede calcular utilizando la diagonal d según

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

En términos del radio circunscrito R , el área de un cuadrado es

${\displaystyle A=2R^{2};}$

ya que el área del círculo es el cuadrado que llena su círculo circunscrito . ${\displaystyle \pi R^{2},}$ ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$

En términos del radio interior r , el área del cuadrado es

${\displaystyle A=4r^{2};}$

Por lo tanto, el área del círculo inscrito es igual a la del cuadrado. ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

Por ser un polígono regular , un cuadrado es el cuadrilátero de menor perímetro que encierra un área dada. Dualmente, un cuadrado es el cuadrilátero que contiene la mayor área dentro de un perímetro dado. ^[6] En efecto, si A y P son el área y el perímetro encerrados por un cuadrilátero, entonces se cumple la siguiente desigualdad isoperimétrica :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

con igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Otros hechos

• Las diagonales de un cuadrado son (aproximadamente) 1,414 veces la longitud de un lado del cuadrado. Este valor, conocido como la raíz cuadrada de 2 o la constante de Pitágoras, ^[1] fue el primer número que se demostró que era irracional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Un cuadrado también se puede definir como un paralelogramo con diagonales iguales que bisecan los ángulos.
• Si una figura es a la vez un rectángulo (ángulos rectos) y un rombo (aristas con longitudes iguales), entonces es un cuadrado.
• Un cuadrado tiene un área mayor que cualquier otro cuadrilátero con el mismo perímetro. ^[7]
• Una teselación cuadrada es una de las tres teselaciones regulares del plano (las otras son el triángulo equilátero y el hexágono regular ).
• El cuadrado pertenece a dos familias de politopos en dos dimensiones: el hipercubo y el politopo cruzado . El símbolo de Schläfli para el cuadrado es {4}.
• El cuadrado es un objeto altamente simétrico. Tiene cuatro ejes de simetría reflexiva y una simetría rotacional de orden 4 (a través de 90°, 180° y 270°). Su grupo de simetría es el grupo diedro  D ₄ .
• Un cuadrado puede inscribirse dentro de cualquier polígono regular. El único otro polígono con esta propiedad es el triángulo equilátero .
• Si el círculo inscrito de un cuadrado ABCD tiene puntos de tangencia E en AB , F en BC , G en CD y H en DA , entonces para cualquier punto P en el círculo inscrito, ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Si es la distancia desde un punto arbitrario en el plano hasta el vértice i -ésimo de un cuadrado y es el radio circunscrito del cuadrado, entonces ^[9] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Si y son las distancias desde un punto arbitrario en el plano hasta el centroide del cuadrado y sus cuatro vértices respectivamente, entonces ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

y

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

¿Dónde está el radio circunscrito del cuadrado? ${\displaystyle R}$

Coordenadas y ecuaciones

${\displaystyle |x|+|y|=2}$trazado en coordenadas cartesianas .

Las coordenadas de los vértices de un cuadrado con lados verticales y horizontales, centrado en el origen y con longitud de lado 2 son (±1, ±1), mientras que el interior de este cuadrado consta de todos los puntos ( x _i , y _i ) con −1 < x _i < 1 y −1 < y _i < 1 . La ecuación

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa " x ² o y ² , el que sea mayor, es igual a 1". El radio circunscrito de este cuadrado (el radio de un círculo dibujado a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado y es igual a Entonces el círculo circunscrito tiene la ecuación ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Alternativamente la ecuación

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

También se puede utilizar para describir el límite de un cuadrado con coordenadas centrales ( a , b ) y un radio horizontal o vertical de r . Por lo tanto, el cuadrado tiene la forma de una bola topológica según la métrica de distancia L 1 .

Construcción

Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado utilizando un compás y una regla . Esto es posible ya que 4 = 2 ² , una potencia de dos .

Cuadrado en un círculo circunscrito dado

Simetría

Las simetrías diedras se dividen según pasen por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa del cuadrado es r8 y la ausencia de simetría se etiqueta como a1 .

El cuadrado tiene simetría Dih _{4 ,} orden 8. Hay 2 subgrupos diedros: Dih ₂ , Dih ₁ , y 3 subgrupos cíclicos : Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ .

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:

• Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
• Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
• Un paralelogramo con un ángulo recto y dos lados iguales adyacentes.
• Un rombo con un ángulo recto
• Un rombo con todos los ángulos iguales
• Un rombo con diagonales iguales

Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado. John Conway las nombra con una letra y orden de grupo. ^[11]

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para cuadriláteros irregulares . r8 es la simetría completa del cuadrado y a1 es la ausencia de simetría. d4 es la simetría de un rectángulo y p4 es la simetría de un rombo . Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado. d2 es la simetría de un trapezoide isósceles y p2 es la simetría de una cometa . g2 define la geometría de un paralelogramo .

Sólo el subgrupo g4 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con aristas dirigidas .

Cuadrados inscritos en triángulos

Todo triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior de modo que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtusángulo tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo.

La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es mayor que 1/2.

Cuadrando el círculo

La cuadratura del círculo , propuesta por los geómetras antiguos , es el problema de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado , utilizando sólo un número finito de pasos con compás y regla .

En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( π ) es un número trascendental en lugar de un número irracional algebraico ; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales .

Geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, los cuadrados son más generalmente polígonos con cuatro lados iguales y ángulos iguales.

En geometría esférica , un cuadrado es un polígono cuyos bordes son arcos de círculo máximo de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la geometría plana, los ángulos de un cuadrado de este tipo son mayores que los de un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos mayores.

En geometría hiperbólica , no existen cuadrados con ángulos rectos. En cambio, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

Ejemplos:

Cuadrado cruzado

Cuadrado cruzado

Un cuadrado cruzado es una faceta del cuadrado, un polígono que se interseca a sí mismo y que se crea eliminando dos aristas opuestas de un cuadrado y volviéndolas a conectar por sus dos diagonales. Tiene la mitad de la simetría del cuadrado, Dih ₂ , orden 4. Tiene la misma disposición de vértices que el cuadrado y es transitivo en vértices . Aparece como dos triángulos 45-45-90 con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

A veces se compara un cuadrado cruzado con una pajarita o una mariposa . El rectángulo cruzado está relacionado, como facetado del rectángulo, con ambos casos especiales de cuadriláteros cruzados . ^[12]

El interior de un cuadrado cruzado puede tener una densidad de polígonos de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del bobinado, en sentido horario o antihorario.

Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen las siguientes propiedades en común:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).

Existe en la figura del vértice de un poliedro estrellado uniforme , el tetrahemihexaedro .

Gráficos

3-símplex (3D)

El gráfico completo K ₄ se suele dibujar como un cuadrado con las 6 aristas posibles conectadas, por lo que aparece como un cuadrado con ambas diagonales dibujadas. Este gráfico también representa una proyección ortográfica de los 4 vértices y las 6 aristas del tetraedro regular de 3 caras .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Cubo
• Teorema de Pitágoras
• Celosía cuadrada
• Número cuadrado
• Raíz cuadrada
• Cuadrando el cuadrado
• ardilla
• Unidad cuadrada

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cuadrado". Wolfram MathWorld . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
2. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición", Information Age Publishing, 2008, pág. 59, ISBN 1-59311-695-0 . 
3. "Conjunto de problemas 1.3". jwilson.coe.uga.edu . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
4. Josefsson, Martin, "Propiedades de los cuadriláteros equidiagonales" Archivado el 27 de septiembre de 2022 en Wayback Machine Forum Geometricorum , 14 (2014), 129–144.
5. "Cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, rombo, trapezoide y paralelogramo". www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
6. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979: 147.
7. Lundsgaard Hansen, Martín. "Vagn Lundsgaard Hansen". www2.mat.dtu.dk. ​Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
8. "Clases de geometría, Problema 331. Cuadrado, Punto en el círculo inscrito, Puntos de tangencia. Profesor de matemáticas con título de maestría. Universidad, Preparación para el SAT. Aprendizaje electrónico, Tutor de matemáticas en línea, LMS". gogeometry.com . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
9. Park, Poo-Sung. "Distancias regulares entre politopos", Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archivado el 10 de octubre de 2016 en Wayback Machine .
10. Meskhishvili, Mamuka (2021). "Promedios cíclicos de distancias poligonales regulares" (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 10 : 58–65.
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
12. Wells, Christopher J. "Cuadriláteros". www.technologyuk.net . Consultado el 12 de diciembre de 2017 .

Enlaces externos

• Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Definición y propiedades de un cuadrado Con aplicación interactiva
• Subprograma animado que ilustra el área de un cuadrado