Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Representation of angular momentum tensor product states important to physics

En física matemática , los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplada . Matemáticamente, especifican la descomposición del producto tensorial de dos representaciones irreducibles en una suma directa de representaciones irreducibles, donde el tipo y las multiplicidades de estas representaciones irreducibles se conocen de forma abstracta. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), quienes encontraron un problema equivalente en la teoría de invariantes .

La generalización a SU(3) de los coeficientes de Clebsch–Gordan es útil debido a su utilidad para caracterizar las desintegraciones hadrónicas , donde existe una simetría SU(3) de sabor (la vía óctuple ) que conecta los tres quarks ligeros : up , down y strange .

Grupo SU(3)

El grupo unitario especial SU es el grupo de matrices unitarias cuyo determinante es igual a 1. ^[1] Este conjunto es cerrado bajo la multiplicación de matrices. Todas las transformaciones caracterizadas por el grupo unitario especial dejan las normas sin cambios. La simetría SU(3) aparece en la simetría de sabor de quarks ligeros (entre los quarks up , down y strange ) denominada la Vía Óctuple (física) . El mismo grupo actúa en cromodinámica cuántica sobre los números cuánticos de color de los quarks que forman la representación fundamental (triplete) del grupo.

El grupo SU(3) es un subgrupo del grupo U(3) , el grupo de todas las matrices unitarias 3×3. La condición de unitaridad impone nueve relaciones de restricción sobre los 18 grados de libertad totales de una matriz compleja 3×3. Por lo tanto, la dimensión del grupo U(3) es 9. Además, multiplicar una U por una fase, e ^iφ deja la norma invariante. Por lo tanto , U(3) se puede descomponer en un producto directo U(1) × SU(3)/Z ₃ . Debido a esta restricción adicional, SU(3) tiene dimensión 8.

Generadores del álgebra de Lie

Toda matriz unitaria U puede escribirse en la forma

${\displaystyle U=e^{iH}\,}$

donde H es hermítica . Los elementos de SU(3) se pueden expresar como

${\displaystyle U=e^{i\sum {a_{k}\lambda _{k}}}}$

donde son las 8 matrices linealmente independientes que forman la base del álgebra de Lie de SU(3) , en la representación triplete. La condición de determinante unitario requiere que las matrices no tengan traza, ya que ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}}$.

Se puede construir una base explícita en la representación fundamental 3 en analogía con el álgebra matricial de Pauli de los operadores de espín. Consiste en las matrices de Gell-Mann ,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{array}}}$

Éstos son los generadores del grupo SU(3) en la representación triplete, y están normalizados como

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{j}\lambda _{k})=2\delta _{jk}.}$

Las constantes de estructura del álgebra de Lie del grupo están dadas por los conmutadores de ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2if_{jkl}\lambda _{l}~,}$

donde las constantes de estructura son completamente antisimétricas y son análogas al símbolo de Levi-Civita de SU(2) . ${\displaystyle f_{jkl}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

En general, se desvanecen, a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2,5,7}, correspondientes a los λ antisimétricos . Nota . ${\displaystyle f_{ljk}={\frac {-i}{4}}\mathrm {tr} ([\lambda _{l},\lambda _{j}]\lambda _{k})}$

Además,

${\displaystyle \{\lambda _{j},\lambda _{k}\}={\frac {4}{3}}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}$

donde son las constantes de coeficientes completamente simétricas. Se anulan si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar. En términos de las matrices, ${\displaystyle d_{jkl}}$

${\displaystyle d_{jkl}={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{j},\lambda _{k}\}\lambda _{l})={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{k},\lambda _{l}\}\lambda _{j})=d_{klj}=d_{kjl}}$

Base estándar

Sistema de raíces de SU(3) . Las 6 raíces están mutuamente inclinadas π /3 para formar una red hexagonal: α corresponde al isospín; β al espín U; y α + β al espín V.

Una base estándar normalizada ligeramente diferente consiste en los operadores de espín F , que se definen como para el 3 y se utilizan para aplicar a cualquier representación de esta álgebra . ${\displaystyle {\hat {F_{i}}}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}$

La base de Cartan-Weyl del álgebra de Lie de SU(3) se obtiene mediante otro cambio de base, donde se define, ^[2]

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }={\hat {F}}_{1}\pm i{\hat {F}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}={\hat {F_{3}}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }={\hat {F}}_{4}\pm i{\hat {F}}_{5}}$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }={\hat {F}}_{6}\pm i{\hat {F}}_{7}}$

${\displaystyle {\hat {Y}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\hat {F}}_{8}~.}$

Debido a los factores de i en estas fórmulas, técnicamente se trata de una base para la complejización del álgebra de Lie su(3), es decir, sl(3, C ). La base precedente es, por tanto, esencialmente la misma que se utiliza en el libro de Hall. ^[3]

Álgebra de conmutación de los generadores

La forma estándar de los generadores del grupo SU(3) satisface las relaciones de conmutación que se dan a continuación,

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{3}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{\pm }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {U}}_{\pm }]=\pm {\hat {U}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\hat {V}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}_{\pm }]=\pm {\hat {I}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {U}}_{\pm }]=\mp {\frac {1}{2}}{\hat {U}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\frac {1}{2}}{\hat {V}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {I}}_{-}]=2{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}-{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}+{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{-}]=-{\hat {U}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{+}]={\hat {V}}_{+},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\hat {I}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{-}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0.}$

Todas las demás relaciones de conmutación se derivan de la conjugación hermítica de estos operadores.

Estas relaciones de conmutación se pueden utilizar para construir las representaciones irreducibles del grupo SU(3) .

Las representaciones del grupo se encuentran en el plano bidimensional I ₃ − Y. Aquí, representa el componente z de Isospin y es la Hipercarga , y comprenden la subálgebra de Cartan (abeliana) del álgebra de Lie completa. El número máximo de generadores que conmutan mutuamente de un álgebra de Lie se denomina su rango : SU(3) tiene rango 2. Los 6 generadores restantes, los operadores de escalera ±, corresponden a las 6 raíces dispuestas en la red hexagonal bidimensional de la figura. ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$

Operadores de Casimir

El operador de Casimir es un operador que conmuta con todos los generadores del grupo de Lie. En el caso de SU (2) , el operador cuadrático J ² es el único operador independiente de este tipo.

En el caso del grupo SU (3) , por el contrario, se pueden construir dos operadores de Casimir independientes, uno cuadrático y otro cúbico: son, ^[4]

${\displaystyle {\hat {C_{1}}}=\sum _{k}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{k}}}\qquad \qquad {\hat {C_{2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\hat {F_{j}}}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{l}}}~.}$

Estos operadores de Casimir sirven para etiquetar las representaciones irreducibles del álgebra de grupos de Lie SU(3) , porque todos los estados en una representación dada asumen el mismo valor para cada operador de Casimir, que sirve como identidad en un espacio con la dimensión de esa representación. Esto se debe a que los estados en una representación dada están conectados por la acción de los generadores del álgebra de Lie, y todos los generadores conmutan con los operadores de Casimir.

Por ejemplo, para la representación del triplete, D (1,0) , el valor propio de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ es 4/3, y de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ , 10/9.

De manera más general, a partir de la fórmula de Freudenthal , para D ( p, q ) genérico , el valor propio ^[5] de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ es

${\displaystyle (p^{2}+q^{2}+3p+3q+pq)/3}$.

El valor propio ("coeficiente de anomalía") de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ es ^[6]

${\displaystyle (p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18.}$

Es una función impar bajo el intercambio p ↔ q . En consecuencia, se anula para representaciones reales p = q , como el adjunto, D (1,1) , es decir, tanto ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ como las anomalías se anulan para ella.

Representaciones del grupo SU(3)

Las representaciones irreducibles de SU(3) se analizan en varios lugares, incluido el libro de Hall. ^[7] Dado que el grupo SU(3) está simplemente conexo, ^[8] las representaciones están en correspondencia biunívoca con las representaciones de su álgebra de Lie ^[9] su(3), o la complejización ^[10] de su álgebra de Lie, sl(3, C ).

Etiquetamos las representaciones como D ( p , q ), donde p y q son números enteros no negativos, donde en términos físicos, p es el número de quarks y q es el número de antiquarks. Matemáticamente, la representación D ( p , q ) puede construirse tensando juntas p copias de la representación tridimensional estándar y q copias del dual de la representación estándar, y luego extrayendo un subespacio invariante irreducible. ^[11] (Véase también la sección de tablas de Young a continuación: p es el número de columnas de caja simple, "quarks", y q el número de columnas de caja doble, "antiquarks").

Otra forma de pensar en los parámetros p y q es como los valores propios máximos de las matrices diagonales.

${\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

(Los elementos y son combinaciones lineales de los elementos y , pero normalizadas de modo que los valores propios de y son números enteros). Esto debe compararse con la teoría de representación de SU(2) , donde las representaciones irreducibles están etiquetadas por el valor propio máximo de un solo elemento, h . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Las representaciones tienen dimensión ^[12]

La representación 10 D (3,0) (decuplete bariónico de espín 3/2)

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2),}$

Sus caracteres irreducibles están dados por ^[13]

${\displaystyle \chi ^{p,q}(\theta ,\phi )=e^{i{\frac {\theta }{3}}(2p+q)}\sum \limits _{k=0}^{p}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-i(k+l)\theta }\left({\frac {\sin((k-l+q+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right),}$

y la medida de Haar correspondiente es ^[13] tal que y , ${\displaystyle \mu (SU(3))=64\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta +\phi /2)\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta -\phi /2)\right)^{2}}$ ${\displaystyle -2\pi \leq \phi \leq 2\pi }$ ${\displaystyle -3\pi \leq \theta \leq 3\pi }$

${\displaystyle V(SU(3))=\int _{-\pi }^{\pi }\!\int _{-\pi }^{\pi }d\!\left({\frac {\phi }{2}}\right)d\!\left({\frac {\theta }{3}}\right)\mu (SU(3))=\int _{-2\pi }^{2\pi }{\frac {d\phi }{2}}\int _{-3\pi }^{3\pi }{\frac {d\theta }{3}}\mu (SU(3))=24\pi ^{2}.}$

Un multiplete SU(3) puede especificarse completamente mediante cinco etiquetas, dos de las cuales, los valores propios de los dos Casimir, son comunes a todos los miembros del multiplete. Esto generaliza las dos etiquetas simples para los multipletes SU(2) , es decir, los valores propios de su Casimir cuadrático y de I ₃ .

Como , podemos etiquetar diferentes estados mediante los valores propios de los operadores y , para un valor propio dado del isospín Casimir. La acción de los operadores sobre estos estados es, ^[14] ${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {Y}}]=0}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle |t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}|t,y\rangle =t|t,y\rangle }$

La representación de los generadores del grupo SU(3) .

${\displaystyle {\hat {Y}}|t,y\rangle =y|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y-{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y+{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }|t,y\rangle =\alpha |t\pm 1,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }|t,y\rangle =\beta |t\pm {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }|t,y\rangle =\gamma |t\mp {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

Aquí,

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}-{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}}$

y

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}+{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}.}$

La representación de 15 dimensiones D (2,1)

Todos los demás estados de la representación pueden construirse mediante la aplicación sucesiva de los operadores de escalera y mediante la identificación de los estados base que son aniquilados por la acción de los operadores de descenso. Estos operadores pueden representarse como flechas cuyos puntos finales forman los vértices de un hexágono (imagen para generadores arriba). ${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm },{\hat {U}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }}$

Coeficiente de Clebsch-Gordan para SU(3)

La representación del producto de dos representaciones irreducibles y es generalmente reducible. Simbólicamente, ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus \sigma (P,Q)D(P,Q)~,}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ es un número entero.

Por ejemplo, dos octetos (adjuntos) se componen de

${\displaystyle D(1,1)\otimes D(1,1)=D(2,2)\oplus D(3,0)\oplus D(1,1)\oplus D(1,1)\oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}$

es decir, su producto se reduce a un icosasepteto ( 27 ), un decuplete, dos octetos, un antidecuplete y un singlete, 64 estados en total.

La serie de la derecha se llama serie de Clebsch-Gordan. Implica que la representación ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ aparece ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ veces en la reducción de este producto directo de con . ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

Ahora se necesita un conjunto completo de operadores para especificar de forma única los estados de cada representación irreducible dentro de la que acabamos de reducir. El conjunto completo de operadores conmutativos en el caso de la representación irreducible es ${\displaystyle D(P,Q)}$

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1},{\hat {C}}_{2},{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}^{2},{\hat {Y}}\}~,}$

dónde

${\displaystyle I^{2}\equiv {I_{1}}^{2}+{I_{2}}^{2}+{I_{3}}^{2}}$.

Los estados de la representación directa del producto anterior quedan así completamente representados por el conjunto de operadores.

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {I}}_{3}(1),{\hat {I}}^{2}(1),{\hat {Y}}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(2),{\hat {I}}_{3}(2),{\hat {I}}^{2}(2),{\hat {Y}}(2)\},}$

donde el número entre paréntesis designa la representación sobre la que actúa el operador.

Se puede encontrar un conjunto alternativo de operadores conmutativos para la representación directa del producto, si se considera el siguiente conjunto de operadores, ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&={\hat {C}}_{1}(1)+{\hat {C}}_{1}(2)\\{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&={\hat {C}}_{2}(1)+{\hat {C}}_{2}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&={\hat {I}}^{2}(1)+{\hat {I}}^{2}(2)\\{\hat {\mathbb {Y} }}&={\hat {Y}}(1)+{\hat {Y}}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&={\hat {I}}_{3}(1)+{\hat {I}}_{3}(2).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el conjunto de operadores de conmutación incluye

${\displaystyle \{{\hat {\mathbb {C} }}_{1},{\hat {\mathbb {C} }}_{2},{\hat {\mathbb {Y} }},{\hat {\mathbb {I} }}_{3},{\hat {\mathbb {I} }}^{2},{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {C}}_{2}(2)\}.}$

Este es un conjunto de solo nueve operadores. Pero el conjunto debe contener diez operadores para definir todos los estados de la representación del producto directo de manera única. Para encontrar el último operador Γ , uno debe buscar fuera del grupo. Es necesario distinguir diferentes ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ para valores similares de P y Q .

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cc|cc|cc}{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}\\\hline {\hat {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\hat {C}}_{1}(2)&{c^{1}}_{2}&{\hat {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\hat {C}}_{2}(2)&{c^{2}}_{2}\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&{i^{2}}&{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&{i^{z}}&{\hat {\mathbb {Y} }}&{y}&{\hat {\Gamma }}&\gamma \\{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&{c^{1}}&{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&{c^{1}}&{\hat {Y}}_{1}&{y}_{1}&{\hat {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\hat {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{1}&{\hat {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\hat {I}}_{3}(1)&{i^{z}}_{1}&{\hat {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{array}}}$

Por lo tanto, cualquier estado en la representación directa del producto puede ser representado por el ket,

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

También utilizando el segundo conjunto completo de operadores conmutativos, podemos definir los estados en la representación directa del producto como

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

Podemos eliminar el del estado y etiquetar los estados como ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2}}$

${\displaystyle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

utilizando los operadores del primer conjunto, y,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle ~,}$

utilizando los operadores del segundo conjunto.

Ambos estados abarcan la representación directa del producto y cualquier estado en la representación puede etiquetarse mediante la elección adecuada de los valores propios.

Utilizando la relación de completitud,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle =\sum _{y_{1},y_{2}}\sum _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2}}\sum _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

Aquí, los coeficientes

${\displaystyle \langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Una notación diferente

Para evitar confusiones, los valores propios se pueden denotar simultáneamente por μ y los valores propios se denotan simultáneamente por ν . Entonces el estado propio de la representación del producto directo ⁠ ⁠ se puede denotar por ^[15] ${\displaystyle c^{1},c^{2}}$ ${\displaystyle i^{2},i^{z},y}$ ${\displaystyle D(P,Q)}$

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}},}$

donde son los valores propios de y son los valores propios de denotados simultáneamente. Aquí, la cantidad expresada por el paréntesis es el símbolo 3-j de Wigner . ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{2}}_{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{2},{c^{2}}_{2}}$

Además, se consideran los estados base de y son los estados base de . También son los estados base de la representación del producto. Aquí representa los valores propios combinados y respectivamente. ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}}$ ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}},{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{1},{i^{z}}_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{2},{i^{z}}_{2},y_{2})}$

Así pues, las transformaciones unitarias que conectan las dos bases son

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$

Esta es una notación relativamente compacta. Aquí,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Relaciones de ortogonalidad

Los coeficientes de Clebsch-Gordan forman una matriz ortogonal real. Por lo tanto,

${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}=\sum _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}$

Además, siguen las siguientes relaciones de ortogonalidad,

${\displaystyle \sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmatrix}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}$

${\displaystyle \sum _{\mu \nu \gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}'}\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}$

Propiedades de simetría

Si una representación irreducible aparece en la serie de Clebsch–Gordan de , entonces debe aparecer en la serie de Clebsch–Gordan de . Lo que implica, ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{\gamma }}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{1}\otimes {\mu }_{2}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{2}\otimes {\mu }_{1}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}$

Dónde Dado que todos los coeficientes de Clebsch-Gordan son reales, se puede deducir la siguiente propiedad de simetría, ${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}}^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

Dónde . ${\displaystyle \xi _{2}=\xi _{2}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

Grupo de simetría del operador hamiltoniano del oscilador 3D

Un oscilador armónico tridimensional se describe mediante el hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}$

donde la constante del resorte, la masa y la constante de Planck han sido absorbidas en la definición de las variables, ħ = m =1 .

Se observa que este hamiltoniano es simétrico bajo transformaciones de coordenadas que preservan el valor de . Por lo tanto, cualquier operador en el grupo SO(3) mantiene invariante este hamiltoniano. ${\displaystyle V=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Más significativamente, dado que el hamiltoniano es hermítico, permanece además invariante bajo la operación de elementos del grupo SU(3) mucho más grande .

Prueba de que el grupo de simetría del oscilador armónico lineal isótropo 3D es SU(3) ^[16]

Se puede definir un operador tensorial simétrico (diádico) análogo al vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler,

${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}p_{i}p_{j}+\omega ^{2}r_{i}r_{j}}$

que conmuta con el hamiltoniano,

${\displaystyle [{\hat {A}}_{ij},{\hat {H}}]=0.}$

Dado que conmuta con el hamiltoniano (su traza), representa 6−1=5 constantes de movimiento.

Tiene las siguientes propiedades,

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {L}}_{j}=\sum _{i}{\hat {L}}_{i}{\hat {A}}_{ij}=0}$

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {A}}_{jk}={\hat {H}}{\hat {A}}_{ik}+{\frac {1}{4}}\omega ^{2}\{{\hat {L}}_{i}{\hat {L}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {L}}^{2}+2[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{k}]-2\hbar ^{2}\delta _{ik}\}}$

${\displaystyle Tr[{\hat {A}}_{ij}]=\sum _{i}{{\hat {A}}_{ii}}={\hat {H}}.}$

Aparte de la traza tensorial del operador , que es el hamiltoniano, los 5 operadores restantes se pueden reorganizar en su forma de componente esférico como ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij},}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=\omega ^{-1}(2{\hat {A}}_{33}-{\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\pm }=\mp \omega ^{-1}({\hat {A}}_{13}\pm i{\hat {A}}_{23})}$

${\displaystyle {\hat {A'}}_{\pm }=\omega ^{-1}({\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22}\pm 2i{\hat {A}}_{22})}$

Además, los operadores de momento angular se escriben en forma de componente esférico como

${\displaystyle {\hat {L}}_{3}={\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }=({\hat {L}}_{1}\pm i{\hat {L}}_{2}).}$

Obedecen las siguientes relaciones de conmutación,

${\displaystyle [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{0}]=[{\hat {A}}_{0},{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {L}}_{\mp }]=-4[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]={\frac {1}{2}}[{\hat {A'}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\mp }]=\pm 2\hbar {\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]=\hbar {\hat {A}}_{0}}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {L}}_{\pm }]=-{\frac {2}{3}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {A}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {L}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{\pm }]=-{\frac {1}{6}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {L}}_{\pm }]={\frac {1}{4}}[{\hat {L}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {A}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A'}}_{\pm }]=2[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\pm }]=2\hbar {\hat {A'}}_{\pm }.}$

Los ocho operadores (que consisten en los 5 operadores derivados del operador tensorial simétrico sin traza  _ij y los tres componentes independientes del vector de momento angular) obedecen las mismas relaciones de conmutación que los generadores infinitesimales del grupo SU(3) , detallados anteriormente.

Como tal, el grupo de simetría del hamiltoniano para un oscilador armónico 3D isotrópico lineal es isomorfo al grupo SU(3) .

De manera más sistemática, los operadores como los operadores de escalera

${\displaystyle {\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}~~}$y ${\displaystyle ~~{\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }={\hat {X}}_{i}-i{\hat {P}}_{i}}$

Se pueden construir ecuaciones que aumenten o disminuyan el valor propio del operador hamiltoniano en 1.

Los operadores â _i y â _i ^† no son hermíticos; pero se pueden construir operadores hermíticos a partir de diferentes combinaciones de ellos, a saber,

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$.

Hay nueve operadores de este tipo para i , j = 1, 2, 3.

Los nueve operadores hermíticos formados por las formas bilineales â _i ^† â _j están controlados por los conmutadores fundamentales

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}$

y se observa que no conmutan entre sí. Como resultado, este conjunto completo de operadores no comparte sus vectores propios en común y no se pueden diagonalizar simultáneamente. El grupo es, por lo tanto, no abeliano y pueden estar presentes degeneraciones en el hamiltoniano, como se indica.

El hamiltoniano del oscilador armónico isótropo 3D, cuando se escribe en términos del operador, equivale a ${\displaystyle {\hat {N_{i}}}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\omega {\bigl [}{\tfrac {3}{2}}+{\hat {N}}_{1}+{\hat {N}}_{2}+{\hat {N}}_{3}{\bigr ]}}$.

El hamiltoniano tiene una degeneración de 8 veces. Una aplicación sucesiva de â _i y â _j ^† a la izquierda conserva el invariante hamiltoniano, ya que aumenta N _i en 1 y disminuye N _j en 1, manteniendo así el invariante total.

${\displaystyle N=\sum {N_{i}}}$   constante. (cf. oscilador armónico cuántico )

Conjunto de operadores con conmutación máxima

Dado que los operadores que pertenecen al grupo de simetría del hamiltoniano no siempre forman un grupo abeliano , no se puede encontrar una base propia común que diagonalice a todos ellos simultáneamente. En su lugar, tomamos el conjunto de operadores con conmutación máxima del grupo de simetría del hamiltoniano e intentamos reducir las representaciones matriciales del grupo a representaciones irreducibles.

Espacio de Hilbert de dos sistemas

El espacio de Hilbert de dos partículas es el producto tensorial de los dos espacios de Hilbert de las dos partículas individuales,

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {I} +\mathbb {I} \otimes \mathbb {H} _{2}~,}$

donde y son el espacio de Hilbert de la primera y segunda partículas, respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$

Los operadores de cada uno de los espacios de Hilbert tienen sus propias relaciones de conmutación, y un operador de un espacio de Hilbert conmuta con un operador del otro espacio de Hilbert. Por lo tanto, el grupo de simetría del operador hamiltoniano de dos partículas es el superconjunto de los grupos de simetría de los operadores hamiltonianos de partículas individuales. Si los espacios de Hilbert individuales son N -dimensionales, el espacio de Hilbert combinado es N ^{-bidimensional} .

Coeficiente de Clebsch-Gordan en este caso

El grupo de simetría del hamiltoniano es SU(3) . Como resultado, los coeficientes de Clebsch-Gordan se pueden encontrar expandiendo los vectores base desacoplados del grupo de simetría del hamiltoniano en su base acoplada. La serie de Clebsch-Gordan se obtiene diagonalizando en bloques el hamiltoniano a través de la transformación unitaria construida a partir de los estados propios que diagonaliza el conjunto máximo de operadores conmutativos.

Cuadros de jóvenes

Una tabla de Young (en plural , tablas ) es un método para descomponer productos de una representación de grupo SU( N ) en una suma de representaciones irreducibles. Proporciona los tipos de dimensión y simetría de las representaciones irreducibles, lo que se conoce como la serie de Clebsch-Gordan. Cada representación irreducible corresponde a un estado de una sola partícula y un producto de más de una representación irreducible indica un estado de múltiples partículas.

Dado que las partículas son en su mayoría indistinguibles en la mecánica cuántica, esto se relaciona aproximadamente con varias partículas permutables. Las permutaciones de n partículas idénticas constituyen el grupo simétrico S _n . Cada estado de n partículas de S _n que está formado por estados de una sola partícula del multiplete SU( N ) fundamental de N dimensiones pertenece a una representación SU( N ) irreducible. Por lo tanto, se puede utilizar para determinar la serie de Clebsch-Gordan para cualquier grupo unitario. ^[17]

Construyendo los estados

Cualquier función de onda de dos partículas , donde los índices 1,2 representan el estado de las partículas 1 y 2, se puede utilizar para generar estados de simetría explícita utilizando los operadores simetrizantes y antisimetrizantes. ^[18] ${\displaystyle \psi _{1,2}}$

${\displaystyle \mathbf {S_{12}} =\mathbf {I} +\mathbf {P_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {A_{12}} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }$

donde son los operadores que intercambian las partículas (Operador de intercambio). ${\displaystyle \mathbf {P_{12}} }$

Se sigue la siguiente relación: ^[18] -

${\displaystyle \mathbf {P_{12}P_{12}} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}S_{12}} =\mathbf {P_{12}} +\mathbf {I} =\mathbf {S_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}A_{12}} =\mathbf {P_{12}} -\mathbf {I} =-\mathbf {A_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}$

de este modo,

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {A_{12}} \psi _{12}=-\mathbf {A_{12}} \psi _{12}.}$

Partiendo de un estado multipartícula, podemos aplicar y repetidamente para construir estados que sean: ^[18] ${\displaystyle \mathbf {S_{12}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A_{12}} }$

1. Simétrico con respecto a todas las partículas.
2. Antisimétrico con respecto a todas las partículas.
3. Simetrías mixtas, es decir simétricas o antisimétricas con respecto a algunas partículas.

Construyendo los cuadros

En lugar de utilizar ψ , en las tablas de Young, utilizamos cuadros cuadrados ( □ ) para denotar partículas e i para denotar el estado de las partículas.

Ejemplo de tabla de Young. El número dentro de los recuadros representa el estado de las partículas.

El conjunto completo de partículas se denota mediante disposiciones de □ s, cada una con su propia etiqueta de número cuántico ( i ). ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{p}}$

La tabla se forma apilando cajas una al lado de la otra y de arriba a abajo de modo que los estados simétricos con respecto a todas las partículas se den en una fila y los estados antisimétricos con respecto a todas las partículas se encuentren en una sola columna. Para construir la tabla se siguen las siguientes reglas: ^[17]

1. Una fila no debe ser más larga que la anterior.
2. Las etiquetas cuánticas (números en □ ) no deben disminuir al ir de izquierda a derecha en una fila.
3. Las etiquetas cuánticas deben aumentar estrictamente a medida que descienden en una columna.

Caso a favornorte= 3

Para N = 3, es decir, en el caso de SU(3), se presenta la siguiente situación. En SU(3) hay tres etiquetas, que generalmente se designan como (u,d,s) correspondientes a los quarks up, down y strange, según el álgebra de SU(3). También se pueden designar de forma genérica como (1,2,3). Para un sistema de dos partículas, tenemos los siguientes seis estados de simetría:

y los tres estados antisimétricos siguientes:

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}$

La tabla de 1 columna y 3 filas es el singlete, por lo que todas las tablas de irreps no triviales de SU(3) no pueden tener más de dos filas. La representación D(p,q) tiene p+q casillas en la fila superior y q casillas en la segunda fila.

Serie Clebsch-Gordan de los cuadros

La serie de Clebsch-Gordan es la expansión del producto tensorial de dos representaciones irreducibles en una suma directa de representaciones irreducibles. Esto se puede averiguar fácilmente a partir de las tablas de Young. ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus D(P,Q)}$

Ejemplo de serie de Clebsch-Gordan para SU(3)

El producto tensorial de un triplete con un octeto que se reduce a un deciquintillizo ( 15 ), un antisexteto y un triplete

${\displaystyle D(1,0)\otimes D(1,1)=D(2,1)\oplus D(0,2)\oplus D(1,0)}$

aparece esquemáticamente como ^[19] -

En total, 24 estados. Con el mismo procedimiento, se reduce fácilmente cualquier representación directa del producto.

Véase también

• Matriz D de Wigner
• Operador tensorial
• Teorema de Wigner-Eckart
• Teoría de la representación
• Coeficiente W de Racah
• Fórmula de masa de Gell-Mann-Okubo

Referencias

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2. Introducción a las partículas elementales - David J. Griffiths , ISBN  978-3527406012 , Capítulo 1, Páginas 33-38
3. Sala 2015 Sección 6.2
4. Bargmann, V.; Moshinsky, M. (1961). "Teoría de grupos de osciladores armónicos (II). Las integrales de movimiento para la interacción cuadrupolo-cuadrupolo". Física nuclear . 23 : 177–199. Código Bibliográfico :1961NucPh..23..177B. doi :10.1016/0029-5582(61)90253-X.
5. Véase la ecuación 3.65 en Pais, A. (1966). "Simetría dinámica en física de partículas". Reseñas de física moderna . 38 (2): 215–255. Bibcode :1966RvMP...38..215P. doi :10.1103/RevModPhys.38.215.
6. País, ibíd. (3.66)
7. Hall 2015 Capítulo 6
8. Propuesta 13.11 del Salón 2015
9. Hall 2015 Teorema 5.6
10. Sala 2015 Sección 3.6
11. Véase la prueba de la Proposición 6.17 en Hall 2015
12. Hall 2015 Teorema 6.27 y Ejemplo 10.23
13. Greiner & Müller 2012, cap. 10.15 Nota: Hay un error tipográfico en la cita final del resultado: en la ecuación 10.121, el primero debería ser un . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
14. Senner y Schulten
15. De Swart, JJ (1963). "El modelo del octeto y sus coeficientes de Clebsch-Gordan" (PDF) . Reseñas de física moderna . 35 (4): 916–939. Bibcode :1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916. (Fe de erratas: [ De Swart, JJ (1965). Reseñas de Física Moderna . 37 (2): 326. Código Bibliográfico :1965RvMP...37..326D. doi : 10.1103/RevModPhys.37.326 .{{cite journal}}: CS1 maint: untitled periodical (link)])
16. Fradkin, DM (1965). "Oscilador armónico isotrópico tridimensional y SU3". American Journal of Physics . 33 (3): 207–211. Código Bibliográfico :1965AmJPh..33..207F. doi :10.1119/1.1971373.
17. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). "4. Teoría de grupos". Métodos matemáticos para físicos, edición internacional para estudiantes (6.ª ed.). Elsevier. págs. 241–320. ISBN 978-0-08-047069-6.
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19. "Algunas notas sobre cuadros de Young útiles para irreps para su(n)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2014-11-07 . Consultado el 2014-11-07 .

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