Cero final

En matemáticas , los ceros finales son una secuencia de en la representación decimal (o más generalmente, en cualquier representación posicional ) de un número, después de la cual no le siguen otros dígitos .

Los ceros finales a la derecha de un punto decimal , como en 12.340, no afectan el valor de un número y pueden omitirse si lo único que interesa es su valor numérico. Esto es cierto incluso si los ceros se repiten infinitamente . Por ejemplo, en farmacia , los ceros finales se omiten en los valores de dosis para evitar lecturas erróneas. Sin embargo, los ceros finales pueden resultar útiles para indicar el número de cifras significativas , por ejemplo en una medición. En tal contexto, "simplificar" un número eliminando los ceros finales sería incorrecto.

El número de ceros finales en un entero de base b distinto de cero n es igual al exponente de la potencia más alta de b que divide a n . Por ejemplo, 14000 tiene tres ceros a la derecha y, por lo tanto, es divisible por 1000 = 10 ³ , pero no por 10 ⁴ . Esta propiedad es útil cuando se buscan factores pequeños en la factorización de enteros . Algunas arquitecturas de computadora tienen una operación de conteo de ceros finales en su conjunto de instrucciones para determinar de manera eficiente el número de bits de ceros finales en una palabra de máquina.

Factorial

El número de ceros finales en la representación decimal de n !, el factorial de un entero no negativo n , es simplemente la multiplicidad del factor primo 5 en n !. Esto se puede determinar con este caso especial de la fórmula de Polignac : ^[1]

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,}$

donde k debe elegirse tal que

${\displaystyle 5^{k+1}>n,\,}$

más precisamente

${\displaystyle 5^{k}\leq n<5^{k+1},}$

${\displaystyle k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,}$

y denota la función de suelo aplicada a . Para n  = 0, 1, 2, ... esto es ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6,... (secuencia A027868 en el OEIS ).

Por ejemplo, 5 ³  > 32, ¡y por tanto 32! = 263130836933693530167218012160000000 termina en

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,}$

ceros. Si n  < 5, la desigualdad se satisface con k  = 0; en ese caso la suma está vacía , dando la respuesta 0.

En realidad, la fórmula cuenta el número de factores 5 en n !, pero como hay al menos tantos factores 2, esto equivale al número de factores 10, cada uno de los cuales da un cero final más.

Definiendo

${\displaystyle q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,}$

se cumple la siguiente relación de recurrencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}}$

Esto se puede utilizar para simplificar el cálculo de los términos de la suma, que se puede detener tan pronto como q  _i llegue a cero. La condición 5 ^{k +1} > n es equivalente a q _{k +1} = 0. 

Ver también

• Cero inicial
• Dígito final

Referencias

1. Resumido de factoriales y ceros finales

enlaces externos

• ¿Por qué son importantes los ceros fraccionarios finales? para ver algunos ejemplos de cuándo los ceros finales son significativos
• Número de ceros finales para cualquier factorialPrograma Python para calcular el número de ceros finales de cualquier factorial Archivado el 22 de febrero de 2017 en Wayback Machine.