En matemáticas , una operación de simetría es una transformación geométrica de un objeto que deja el objeto con el mismo aspecto después de haber sido realizada. Por ejemplo, una rotación de 1 ⁄ 3 de vuelta de un triángulo regular sobre su centro , una reflexión de un cuadrado a través de su diagonal , una traslación del plano euclidiano o una reflexión puntual de una esfera a través de su centro son todas operaciones de simetría. Cada operación de simetría se realiza con respecto a algún elemento de simetría (un punto, una línea o un plano). [1]
En el contexto de la simetría molecular , una operación de simetría es una permutación de átomos tal que la molécula o el cristal se transforma en un estado indistinguible del estado inicial. De esta definición se desprenden dos hechos básicos que subrayan su utilidad.
En el contexto de la simetría molecular, las funciones de onda cuánticas no necesitan ser invariantes, porque la operación puede multiplicarlas por una fase o mezclar estados dentro de una representación degenerada, sin afectar ninguna propiedad física.
La operación de identidad corresponde a no hacer nada sobre el objeto. Como cada molécula es indistinguible de sí misma si no se le hace nada, cada objeto posee al menos la operación de identidad. La operación de identidad se denota por E o I. En la operación de identidad, no se puede observar ningún cambio en la molécula. Incluso la molécula más asimétrica posee la operación de identidad. La necesidad de una operación de identidad de este tipo surge de los requisitos matemáticos de la teoría de grupos.
La operación de reflexión se lleva a cabo con respecto a elementos de simetría conocidos como planos de simetría o planos especulares. [2] Cada uno de estos planos se denota como σ (sigma). Su orientación relativa al eje principal de la molécula se indica mediante un subíndice. El plano debe pasar a través de la molécula y no puede estar completamente fuera de ella.
A través de la reflexión de cada plano especular, la molécula debe ser capaz de producir una imagen idéntica de sí misma.
En una inversión a través de un centro de simetría, i (el elemento), imaginamos tomar cada punto en una molécula y luego moverlo la misma distancia hacia el otro lado. En resumen, la operación de inversión proyecta cada átomo a través del centro de inversión y hacia afuera a la misma distancia en el lado opuesto. El centro de inversión es un punto en el espacio que se encuentra en el centro geométrico de la molécula. Como resultado, todas las coordenadas cartesianas de los átomos se invierten (es decir, x, y, z a –x, –y, –z ). El símbolo utilizado para representar el centro de inversión es i . Cuando la operación de inversión se lleva a cabo n veces, se denota por i n , donde cuando n es par y cuando n es impar.
Entre los ejemplos de moléculas que tienen un centro de inversión se incluyen ciertas moléculas con geometría octaédrica (fórmula general AB 6 ), geometría plana cuadrada (fórmula general AB 4 ) y etileno ( H 2 C=CH 2 ). Entre los ejemplos de moléculas sin centros de inversión se encuentran el ciclopentadienuro ( C 5 H−5) y moléculas con geometría piramidal trigonal (fórmula general AB 3 ). [3]
Una rotación propia se refiere a una rotación simple sobre un eje . Tales operaciones se denotan por donde C n es una rotación de o realizada m veces. El superíndice m se omite si es igual a uno. C 1 es una rotación de 360°, donde n = 1. Es equivalente a la operación Identidad ( E ). C 2 es una rotación de 180°, como C 3 es una rotación de 120°, como y así sucesivamente.
Aquí la molécula puede rotarse a posiciones equivalentes alrededor de un eje. Un ejemplo de una molécula con simetría C2 es la molécula de agua (H2O). Si la molécula de H2O se rota 180 ° alrededor de un eje que pasa por el átomo de oxígeno, no se observa ninguna diferencia detectable antes y después de la operación C2 .
El orden n de un eje puede considerarse como un número de veces que, para la menor rotación que da una configuración equivalente, esa rotación debe repetirse para dar una configuración idéntica a la estructura original (es decir, una rotación de 360° o 2 π ). Un ejemplo de esto es la rotación propia de C 3 , que gira por C 3 representa la primera rotación alrededor del eje C 3 por es la rotación por mientras que es la rotación por es la configuración idéntica porque da la estructura original, y se llama elemento identidad ( E ). Por lo tanto, C 3 es un orden de tres, y a menudo se lo denomina eje triple . [3]
Una rotación impropia implica dos pasos de operación: una rotación propia seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación. La rotación impropia se representa con el símbolo S n donde n es el orden. Dado que la rotación impropia es la combinación de una rotación propia y una reflexión, S n siempre existirá siempre que C n y un plano perpendicular existan por separado. [3] S 1 se suele denotar como σ , una operación de reflexión sobre un plano de espejo. S 2 se suele denotar como i , una operación de inversión sobre un centro de inversión. Cuando n es un número par pero cuando n es impar
Los ejes de rotación, los planos de simetría y los centros de inversión son elementos de simetría , no operaciones de simetría. El eje de rotación de orden más alto se conoce como eje de rotación principal. Es habitual fijar el eje z cartesiano de la molécula para que contenga el eje de rotación principal.
Diclorometano , CH 2 Cl 2 . Hay un eje de rotación C 2 que pasa por el átomo de carbono y los puntos medios entre los dos átomos de hidrógeno y los dos átomos de cloro. Defina el eje z como colineal con el eje C 2 , el plano xz como que contiene CH 2 y el plano yz como que contiene CCl 2 . Una operación de rotación C 2 permuta los dos átomos de hidrógeno y los dos átomos de cloro. La reflexión en el plano yz permuta los átomos de hidrógeno mientras que la reflexión en el plano xz permuta los átomos de cloro. Las cuatro operaciones de simetría E , C 2 , σ( xz ) y σ( yz ) forman el grupo puntual C 2 v . Nótese que si se llevan a cabo dos operaciones en sucesión, el resultado es el mismo que si se hubiera realizado una sola operación del grupo.
Metano , CH 4 . Además de las rotaciones propias de orden 2 y 3, hay tres ejes S 4 mutuamente perpendiculares que pasan a mitad de camino entre los enlaces CH y seis planos especulares. Nótese que
En los cristales también son posibles las rotaciones helicoidales y/o las reflexiones deslizantes . Se trata de rotaciones o reflexiones acompañadas de una traslación parcial. Estas operaciones pueden variar en función de las dimensiones de la red cristalina.
Las redes de Bravais pueden considerarse como operaciones de simetría traslacional . Las combinaciones de operaciones de los grupos puntuales cristalográficos con las operaciones de simetría de adición producen los 230 grupos espaciales cristalográficos .
Teorema de restricción cristalográfica
FA Cotton Aplicaciones químicas de la teoría de grupos , Wiley, 1962, 1971
