SIC-POVM

Tipo de medición en mecánica cuántica

En la representación de esfera de Bloch de un qubit , los estados de un SIC-POVM forman un tetraedro regular . Zauner conjeturó que existen estructuras análogas en espacios de Hilbert complejos de todas las dimensiones finitas.

En el contexto de la mecánica cuántica y la teoría de la información cuántica , las medidas simétricas, informativamente completas y con valores positivos para operadores (SIC - POVM ) son un tipo particular de medición generalizada (POVM) . Las SIC-POVM son particularmente notables gracias a sus características definitorias de (1) ser informativamente completas; (2) tener el número mínimo de resultados compatibles con la integridad informativa y (3) ser altamente simétricas. En este contexto, la integridad informativa es la propiedad de una POVM de permitir reconstruir completamente los estados de entrada a partir de los datos de medición.

Las propiedades de los SIC-POVM los convierten en un candidato interesante para una "medición cuántica estándar", utilizada en el estudio de la mecánica cuántica fundamental, más notablemente en el QBismo ^{[ cita requerida ]} . Los SIC-POVM tienen varias aplicaciones en el contexto de la tomografía de estados cuánticos ^[1] y la criptografía cuántica ^[2] , y se ha descubierto una posible conexión con el duodécimo problema de Hilbert ^[3] .

Definición

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen SIC-POVM en todas las dimensiones?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Un POVM sobre un espacio de Hilbert -dimensional es un conjunto de operadores semidefinidos positivos que suman la identidad : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.}$$

Si un POVM consta de al menos operadores que abarcan el espacio de operadores autoadjuntos , se dice que es un POVM informacionalmente completo (IC-POVM). Los IC-POVM que constan de exactamente elementos se denominan mínimos. Un conjunto de proyectores de rango -1 que tienen productos internos de Hilbert-Schmidt iguales por pares define un IC-POVM mínimo con elementos denominados SIC-POVM. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \left\{\Pi _{i}\right\}_{i=1}^{d^{2}}}$ $${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},}$$ ${\displaystyle F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}}$

Propiedades

Simetría

Considere un conjunto arbitrario de proyectores de rango 1 tal que es un POVM, y por lo tanto . Pedir a los proyectores que tengan productos internos por pares iguales, para todos , fija el valor de . Para ver esto, observe que implica que . Por lo tanto, Esta propiedad es lo que hace que los SIC-POVM sean simétricos ; con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt , cualquier par de elementos es equivalente a cualquier otro par. ${\displaystyle (\Pi _{i})_{i=1}^{d^{2}}}$ ${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/d}$ ${\displaystyle {\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c={\frac {1}{d+1}}}$ $${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.}$$

Superoperador

Al utilizar los elementos SIC-POVM, se puede construir un superoperador interesante, como el mapa . Este operador es muy útil para considerar la relación de los SIC-POVM con los diseños t esféricos. Considere el mapa ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

Este operador actúa sobre un elemento SIC-POVM de una manera muy similar a la identidad, en el sentido de que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle \right|^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}}$

Pero como los elementos de un SIC-POVM pueden determinar de forma completa y única cualquier estado cuántico, este operador lineal se puede aplicar a la descomposición de cualquier estado, lo que da como resultado la capacidad de escribir lo siguiente:

${\displaystyle G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)}$dónde ${\displaystyle I(A)=A{\text{ and }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I}$

A partir de aquí, se puede calcular ^[4] que la inversa izquierda es , y así con el conocimiento de que ${\displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]}$

${\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]}$,

Se puede crear una expresión para un estado en términos de una distribución de cuasi-probabilidad , de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

donde es la notación de Dirac para el operador de densidad visto en el espacio de Hilbert . Esto muestra que la representación apropiada de la distribución de cuasi-probabilidad (denominada así porque puede producir resultados negativos) del estado está dada por ${\displaystyle |\rho )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}}$

Encontrar conjuntos SIC

El ejemplo más simple

Las ecuaciones que definen el SIC-POVM se pueden resolver a mano, obteniéndose los vectores ${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}}$$

que forman los vértices de un tetraedro regular en la esfera de Bloch . Los proyectores que definen el SIC-POVM están dados por , y los elementos del SIC-POVM son por lo tanto . ${\displaystyle \Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ ${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/2=|\psi _{i}\rangle \!\langle \psi _{i}|/2}$

Para dimensiones superiores esto no es factible, por lo que es necesario utilizar un enfoque más sofisticado.

Covarianza de grupo

Covarianza general del grupo

Se dice que un SIC-POVM es covariante de grupo si existe un grupo con una representación unitaria -dimensional tal que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d^{2}}$

• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |\in P,\quad \forall U_{g}\in G,\quad U_{g}|\psi \rangle \in P}$
• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |\in P,\quad \exists U_{g}\in G,\quad U_{g}|\phi \rangle =|\psi \rangle }$

La búsqueda de SIC-POVM se puede simplificar en gran medida si se aprovecha la propiedad de covarianza de grupo. De hecho, el problema se reduce a encontrar un vector fiducial normalizado tal que ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\langle \phi |U_{g}|\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{d+1}}\ \forall g\neq id}$.

El SIC-POVM es entonces el conjunto generado por la acción grupal de en . ${\displaystyle U_{g}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

El caso de Z_d× Z_d

Hasta ahora, la mayoría de los SIC-POVM se han encontrado considerando la covarianza de grupo bajo . ^[5] Para construir la representación unitaria, asignamos a , el grupo de operadores unitarios en dimensiones d. Primero se deben introducir varios operadores. Sea una base para , entonces el operador de fase es ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle U(d)}$ ${\displaystyle |e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T|e_{i}\rangle =\omega ^{i}|e_{i}\rangle }$¿Dónde está la raíz de la unidad? ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

y el operador de turno como

${\displaystyle S|e_{i}\rangle =|e_{i+1{\pmod {d}}}\rangle }$

Combinando estos dos operadores se obtiene el operador de Weyl que genera el grupo de Heisenberg-Weyl. Este es un operador unitario ya que ${\displaystyle W(p,q)=S^{p}T^{q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W(p,q)W^{\dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}\\&=Id\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que la aplicación es una representación unitaria proyectiva. También satisface todas las propiedades de covarianza de grupo, ^[6] y es útil para el cálculo numérico de conjuntos SIC. ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}\rightarrow W(p,q)}$

Conjetura de Zauner

Dadas algunas de las propiedades útiles de los SIC-POVM, sería útil saber con certeza si dichos conjuntos se pueden construir en un espacio de Hilbert de dimensión arbitraria. Originalmente propuesta en la tesis de Zauner ^[7] , se planteó la hipótesis de la existencia de un vector fiducial para dimensiones arbitrarias.

Más específicamente,

Para cada dimensión existe un SIC-POVM cuyos elementos son la órbita de un operador positivo de rango uno del grupo de Weyl–Heisenberg . Además, conmuta con un elemento T del grupo de Jacobi . La acción de T sobre módulo centro es de orden tres. ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle H_{d}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})}$ ${\displaystyle H_{d}}$

Utilizando la noción de covarianza de grupo en , esto puede reformularse como ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$

Para cualquier dimensión , sea una base ortonormal para , y defina ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

${\displaystyle \displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|}$

Entonces tal que el conjunto es un SIC-POVM. ${\displaystyle \exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}$

Resultados parciales

La prueba de la existencia de SIC-POVM para dimensiones arbitrarias sigue siendo una cuestión abierta, ^[6] pero es un campo de investigación en curso en la comunidad de información cuántica.

Se han encontrado expresiones exactas para conjuntos SIC para espacios de Hilbert de todas las dimensiones desde hasta inclusive, y en algunas dimensiones superiores tan grandes como , para 115 valores de en total. ^[a] Además, utilizando la covarianza del grupo de Heisenberg en , se han encontrado soluciones numéricas para todos los números enteros hasta , y en algunas dimensiones mayores hasta . ^[b] ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d=53}$ ${\displaystyle d=5779}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle d=193}$ ${\displaystyle d=2208}$

Relación con los diseños en T esféricos

Un diseño t esférico es un conjunto de vectores en la hiperesfera generalizada de dimensión d , de modo que el valor promedio de cualquier polinomio de orden sobre es igual al promedio de sobre todos los vectores normalizados . Definiendo como el producto tensorial de pliegue t de los espacios de Hilbert, y ${\displaystyle S=\left\{|\phi _{k}\rangle :|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}}$ ${\displaystyle t^{th}}$ ${\displaystyle f_{t}(\psi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{t}(\psi )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathcal {H}}}$

${\displaystyle S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\Phi _{k}^{t}\rangle \langle \Phi _{k}^{t}|,\quad |\Phi _{k}^{t}\rangle =|\phi _{k}\rangle ^{\otimes t}}$

Como operador de marco del producto tensorial t-fold , se puede demostrar que ^[8] un conjunto de vectores normalizados con forma un diseño t esférico si y solo si ${\displaystyle \left\{|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle n\geq {t+d-1 \choose d-1}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{j,k}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}}$

De ello se deduce inmediatamente que cada SIC-POVM es un diseño 2, ya que

${\displaystyle \mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=\displaystyle \sum _{j,k}|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle |^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}}$

que es precisamente el valor necesario que satisface el teorema anterior.

Relación con los MUB

En un espacio de Hilbert de dimensión d , se dice que dos bases distintas son mutuamente imparciales si ${\displaystyle \left\{|\psi _{i}\rangle \right\},\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}}$

${\displaystyle \displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j}$

Esto parece similar en naturaleza a la propiedad simétrica de los SIC-POVM. Wootters señala que un conjunto completo de bases no sesgadas produce una estructura geométrica conocida como plano proyectivo finito , mientras que un SIC-POVM (en cualquier dimensión que sea una potencia prima ) produce un plano afín finito , un tipo de estructura cuya definición es idéntica a la de un plano proyectivo finito con los roles de puntos y líneas intercambiados. En este sentido, los problemas de los SIC-POVM y de las bases mutuamente no sesgadas son duales entre sí. ^[17] ${\displaystyle d+1}$

En dimensión , la analogía se puede llevar más allá: un conjunto completo de bases mutuamente imparciales se puede construir directamente a partir de un SIC-POVM. ^[18] Los 9 vectores del SIC-POVM, junto con los 12 vectores de las bases mutuamente imparciales, forman un conjunto que se puede utilizar en una prueba de Kochen-Specker . ^[19] Sin embargo, en el espacio de Hilbert de 6 dimensiones, se conoce un SIC-POVM, pero aún no se ha descubierto un conjunto completo de bases mutuamente imparciales, y se cree ampliamente que no existe tal conjunto. ^{[20] [21]} ${\displaystyle d=3}$

Véase también

• Medición en mecánica cuántica
• Bases mutuamente imparciales
• Punto de vista
• QBismo

Notas

1. Los detalles de estas soluciones exactas se pueden encontrar en la literatura. ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}
2. Al igual que las soluciones exactas, las soluciones numéricas se han presentado a lo largo de los años en una serie de publicaciones por diferentes autores. ^{[8] [10] [15] [16] [5] [14]}

Referencias

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