Los ángulos adventicios de Langley

Rompecabezas de geometría

Los ángulos adventicios de Langley

Solución al problema del triángulo 80-80-20 de Langley

Los ángulos adventicios de Langley es un acertijo en el que se debe inferir un ángulo en un diagrama geométrico a partir de otros ángulos dados. Fue planteado por Edward Mann Langley en The Mathematical Gazette en 1922. ^{[1] [2]}

El problema

En su forma original el problema era el siguiente:

${\displaystyle ABC}$es un triángulo isósceles con ${\displaystyle \angle {CBA}=\angle {ACB}=80^{\circ }.}$

${\displaystyle CF}$en a los recortes en ${\displaystyle 30^{\circ }}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle F.}$

${\displaystyle BE}$en a los recortes en ${\displaystyle 20^{\circ }}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle E.}$

Demuestre ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$

Solución

El problema de calcular el ángulo es una aplicación estándar de la resección de Hansen . Dichos cálculos pueden establecer que está dentro de cualquier precisión deseada de , pero al ser de precisión finita, siempre dejan dudas sobre el valor exacto. ${\displaystyle \angle {BEF}}$ ${\displaystyle \angle {BEF}}$ ${\displaystyle 30^{\circ }}$

James Mercer desarrolló una prueba directa usando geometría clásica en 1923. ^[2] Esta solución implica dibujar una línea adicional y luego hacer uso repetido del hecho de que los ángulos internos de un triángulo suman 180° para demostrar que varios triángulos dibujados dentro del triángulo grande son todos isósceles.

Dibuje en la intersección de y dibuje (vea la figura en la parte inferior derecha). ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle 20^{\circ }}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle FG.}$

Desde entonces y el triángulo es isósceles con ${\displaystyle \angle {BCG}=80^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {CBG}=20^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {BGC}=80^{\circ }}$ ${\displaystyle BCG}$ ${\displaystyle BC=BG.}$

Desde entonces y el triángulo es isósceles con ${\displaystyle \angle {BCF}=50^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {CBF}=80^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {BFC}=50^{\circ }}$ ${\displaystyle BCF}$ ${\displaystyle BC=BF.}$

Dado que y entonces el triángulo es equilátero . ${\displaystyle \angle {FBG}=60^{\circ }}$ ${\displaystyle BF=BG}$ ${\displaystyle BGF}$

Desde entonces y el triángulo es isósceles con ${\displaystyle \angle {BGE}=100^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {GBE}=40^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle {GEB}=40^{\circ }}$ ${\displaystyle BGE}$ ${\displaystyle GB=GE.}$

Por lo tanto, todas las líneas rojas en la figura son iguales.

Dado que el triángulo es isósceles con ${\displaystyle GE=GF}$ ${\displaystyle EFG}$ ${\displaystyle \angle {GEF}=70^{\circ }.}$

Por lo tanto ${\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }.}$

Existen muchas otras soluciones posibles. Cut the Knot enumera doce soluciones diferentes y varios problemas alternativos con el mismo triángulo 80-80-20 pero con diferentes ángulos internos. ^[4]

Generalización

Problema de los cuadrángulos adventicios

Un cuadrilátero como BCEF se denomina cuadrángulo adventicio cuando los ángulos entre sus diagonales y lados son todos ángulos racionales, ángulos que dan números racionales cuando se miden en grados u otras unidades para las que el círculo entero es un número racional. Se han construido numerosos cuadrángulos adventicios además del que aparece en el rompecabezas de Langley. Forman varias familias infinitas y un conjunto adicional de ejemplos esporádicos. ^[5]

La clasificación de los cuadrángulos adventicios (que no necesariamente deben ser convexos) resulta ser equivalente a clasificar todas las intersecciones triples de diagonales en polígonos regulares. Esto fue resuelto por Gerrit Bol en 1936 (Beantwoording van prijsvraag # 17, Nieuw-Archief voor Wiskunde 18, páginas 14-66). De hecho, él clasificó (aunque con algunos errores) todas las intersecciones múltiples de diagonales en polígonos regulares. Sus resultados (todos hechos a mano) fueron confirmados con computadora, y los errores corregidos, por Bjorn Poonen y Michael Rubinstein en 1998. ^[6] El artículo contiene una historia del problema y una imagen que muestra el triacontágono regular y sus diagonales.

En 2015, una mujer japonesa anónima que usaba el seudónimo "aerile re" publicó el primer método conocido (el método de los 3 circuncentros) para construir una prueba en geometría elemental para una clase especial de problema de cuadrángulos adventicios. ^{[7] [8] [9]} Este trabajo resuelve el primero de los tres problemas sin resolver enumerados por Rigby en su artículo de 1978. ^[5]

Referencias

1. Langley, EM (1922), "Problema 644", The Mathematical Gazette , 11 : 173.
2. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons, pág. 180, ISBN 9780471270478.
3. Tripp, Colin (1975), "Ángulos adventicios", The Mathematical Gazette , 59 (408): 98–106, doi :10.2307/3616644, JSTOR  3616644.
4. Bogomolny, Alexander , "El triángulo 80-80-20", www.cut-the-knot.org , consultado el 3 de junio de 2018
5. Rigby, JF (1978), "Cuadriláteros adventicios: un enfoque geométrico", The Mathematical Gazette , 62 (421): 183–191, doi :10.2307/3616687, JSTOR  3616687, MR  0513855.
6. Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael (1998), "El número de puntos de intersección formados por las diagonales de un polígono regular" (PDF) , SIAM Journal on Discrete Mathematics , 11 (1): 135–156, doi :10.1137/S0895480195281246, S2CID  8673508.
7. Saito, Hiroshi (2016), "Los cuadrángulos adventicios se resolvieron completamente mediante la solución elemental", Gendaisūgaku (現代数学) (en japonés), 49 (590): 66–73, ISSN  2187-6495.
8. aerile_re (2015-10-27), El último desafío de Geometry the Great (en japonés), archivado desde el original el 2016-04-16.
9. Saito, Hiroshi (11 de diciembre de 2016), Introducción al "método de los 3 circuncentros"- Traducción al inglés del artículo de Gendaisūgaku (現代数学).

Enlaces externos

• Angustia angular, MathPages