Transseries

Campo matemático

En matemáticas, el campo de las transseries logarítmico-exponenciales es un campo diferencial ordenado no arquimediano que extiende la comparabilidad de las tasas de crecimiento asintótico de funciones no trigonométricas elementales a una clase mucho más amplia de objetos. Cada transserie logarítmico-exponencial representa un comportamiento asintótico formal, y puede manipularse formalmente, y cuando converge (o en todos los casos si se utilizan semánticas especiales como a través de números surrealistas infinitos ), corresponde al comportamiento real. Las transseries también pueden ser convenientes para representar funciones. A través de su inclusión de exponenciación y logaritmos, las transseries son una fuerte generalización de la serie de potencias en el infinito ( ) y otras expansiones asintóticas similares . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{x^{n}}}}$

El campo fue introducido independientemente por Dahn-Göring ^[1] y Ecalle ^[2] en los contextos respectivos de la teoría de modelos o campos exponenciales y del estudio de la singularidad analítica y la demostración por Ecalle de las conjeturas de Dulac. Constituye un objeto formal, que extiende el campo de funciones exp-log de Hardy y el campo de series acelerando-sumables de Ecalle. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

El campo disfruta de una estructura rica: un campo ordenado con una noción de series y sumas generalizadas, con una derivación compatible con antiderivación distinguida, funciones exponenciales y logarítmicas compatibles y una noción de composición formal de series. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Ejemplos y contraejemplos

En términos informales, las transseries exp-log son series de Hahn formales bien fundamentadas (es decir, bien ordenadas a la inversa) de potencias reales de los indeterminados infinitos positivos , exponenciales, logaritmos y sus composiciones, con coeficientes reales. Dos condiciones adicionales importantes son que la profundidad exponencial y logarítmica de una transserie exp-log , que es el número máximo de iteraciones de exp y log que ocurren en, debe ser finita. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f,}$

Las siguientes series formales son transseries log-exp:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\sum _{j=1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.}$

Las siguientes series formales no son transseries log-exp:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}}$—Esta serie no tiene una buena base.

${\displaystyle \log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots }$— la profundidad logarítmica de esta serie es infinita

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots }$— las profundidades exponenciales y logarítmicas de esta serie son infinitas

Es posible definir campos diferenciales de transseries que contengan las dos últimas series; pertenecen respectivamente a y (véase el párrafo Utilización de números surrealistas más abajo). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

Introducción

Un hecho notable es que las tasas de crecimiento asintótico de funciones no trigonométricas elementales e incluso todas las funciones definibles en la estructura teórica de modelos del campo exponencial ordenado de números reales son todas comparables: Para todas las funciones tales y , tenemos o , donde significa . La clase de equivalencia de bajo la relación es el comportamiento asintótico de , también llamado el germen de (o el germen de en el infinito). ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,<,\exp )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ ${\displaystyle g\leq _{\infty }f}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ ${\displaystyle \exists x.\forall y>x.f(y)\leq g(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El campo de las transseries puede verse intuitivamente como una generalización formal de estas tasas de crecimiento: además de las operaciones elementales, las transseries están cerradas bajo "límites" para secuencias apropiadas con profundidad exponencial y logarítmica acotada. Sin embargo, una complicación es que las tasas de crecimiento no son arquimedianas y, por lo tanto, no tienen la propiedad de límite superior mínimo . Podemos abordar esto asociando una secuencia con el límite superior mínimo de complejidad mínima, de manera análoga a la construcción de números surrealistas. Por ejemplo, se asocia con en lugar de porque decae demasiado rápido, y si identificamos el decaimiento rápido con la complejidad, tiene una complejidad mayor que la necesaria (además, debido a que solo nos preocupamos por el comportamiento asintótico, la convergencia puntual no es decisiva). ${\textstyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$

Debido a la comparabilidad, las transseries no incluyen tasas de crecimiento oscilatorio (como ). Por otro lado, existen transseries como que no corresponden directamente a series convergentes o funciones de valor real. Otra limitación de las transseries es que cada una de ellas está limitada por una torre de exponenciales, es decir, una iteración finita de , excluyendo así la tetración y otras funciones transexponenciales, es decir, funciones que crecen más rápido que cualquier torre de exponenciales. Hay formas de construir campos de transseries generalizadas que incluyen términos transexponenciales formales, por ejemplo, soluciones formales de la ecuación de Abel . ^[3] ${\displaystyle \sin x}$ ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}}$ ${\displaystyle e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e_{\omega }}$ ${\displaystyle e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)}$

Construcción formal

Las transseries pueden definirse como expresiones formales (potencialmente infinitas), con reglas que definen qué expresiones son válidas, comparación de transseries, operaciones aritméticas e incluso diferenciación. Las transseries apropiadas pueden entonces asignarse a las funciones o gérmenes correspondientes, pero hay sutilezas que involucran la convergencia. Incluso a las transseries que divergen se les pueden asignar tasas de crecimiento reales significativas (y únicas) (que concuerdan con las operaciones formales sobre las transseries) utilizando la suma acelerada, que es una generalización de la suma de Borel .

Las transseries se pueden formalizar de varias maneras equivalentes; aquí utilizamos una de las más simples.

Una transserie es una suma bien fundamentada,

${\displaystyle \sum a_{i}m_{i},}$

con profundidad exponencial finita, donde cada uno es un número real distinto de cero y es un transmonomio mónico ( es un transmonomio pero no es mónico a menos que el coeficiente ; cada uno es diferente; el orden de los sumandos es irrelevante). ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=1}$ ${\displaystyle m_{i}}$

La suma puede ser infinita o transfinita; generalmente se escribe en orden decreciente . ${\displaystyle m_{i}}$

Aquí, bien basado significa que no hay una secuencia ascendente infinita (ver buen orden ). ${\displaystyle m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3}}<\cdots }$

Un transmonomio mónico es uno de 1, x , log x , log log x , ..., e ^{purely_large_transseries} .

Nota: Debido a que no lo incluimos como primitivo, pero muchos autores lo hacen; las transseries sin logaritmo no lo incluyen, pero se permiten. Además, se evita la circularidad en la definición porque la transserie purely_large_transseries (arriba) tendrá una profundidad exponencial menor; la definición funciona por recursión en la profundidad exponencial. Consulte "Transseries log-exp como serie de Hahn iterada" (abajo) para ver una construcción que usa y separa explícitamente diferentes etapas. ${\displaystyle x^{n}=e^{n\log x}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle x^{n}e^{\cdots }}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\cdots }}$

Una transserie puramente grande es una transserie no vacía con cada . ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}>1}$

Las transseries tienen una profundidad exponencial finita , donde cada nivel de anidamiento de e o log aumenta la profundidad en 1 (por lo que no podemos tener x + log x + log log x + ...).

La adición de transseries se realiza término por término: (la ausencia de un término se equipara a un coeficiente cero). ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{i}=\sum (a_{i}+b_{i})m_{i}}$

Comparación:

El término más significativo de es para el más grande (debido a que la suma está bien basada, esto existe para transseries distintas de cero). es positivo solo si el coeficiente del término más significativo es positivo (es por eso que usamos "puramente grande" arriba). X > Y solo si X  −  Y es positivo. ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$

Comparación de transmonomios mónicos:

${\displaystyle x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots }$– Éstas son las únicas igualdades en nuestra construcción.

${\displaystyle x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.}$

${\displaystyle e^{a}<e^{b}}$si y solo si (también ). ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$

Multiplicación:

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.}$

Esto aplica esencialmente la ley distributiva al producto; debido a que la serie está bien basada, la suma interna es siempre finita.

Diferenciación:

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\sum a_{i}x_{i}'}$

${\displaystyle 1'=0,x'=1}$

${\displaystyle (e^{y})'=y'e^{y}}$

${\displaystyle (\log y)'=y'/y}$(la división se define mediante la multiplicación).

Con estas definiciones, transserie es un cuerpo diferencial ordenado. Transserie es también un cuerpo valorado , con la valoración dada por el transmonomio mónico principal, y la relación asintótica correspondiente definida por si ( donde es el valor absoluto). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f\prec g}$ ${\displaystyle \forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|}$ ${\displaystyle |f|=\max(f,-f)}$

Otras construcciones

Transseries log-exp como series iteradas de Hahn

Transseries sin registro

Definimos en primer lugar el subcampo de las llamadas transseries libres de logaritmo . Se trata de transseries que excluyen cualquier término logarítmico. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Definición inductiva:

Para definiremos un grupo multiplicativo ordenado linealmente de monomios . Entonces, denotaremos el cuerpo de series bien basadas . Este es el conjunto de aplicaciones con soporte bien basado (es decir, bien ordenado inverso), equipado con suma puntual y producto de Cauchy (ver serie de Hahn ). En , distinguimos el subanillo (no unitario) de transseries puramente grandes , que son series cuyo soporte contiene solo monomios que se encuentran estrictamente por encima de . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle 1}$

Comenzamos equipados con el producto y el pedido . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x^{a}x^{b}:=x^{a+b}}$ ${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b}$

Si es tal que , y por lo tanto y están definidos, denotamos el conjunto de expresiones formales donde y . Esto forma un grupo conmutativo ordenado linealmente bajo el producto y el orden lexicográfico si y solo si o ( y ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}}$ ${\displaystyle \theta <\theta '}$ ${\displaystyle \theta =\theta '}$ ${\displaystyle a<a'}$

La inclusión natural de en dado mediante la identificación y proporciona inductivamente una incrustación natural de en , y por lo tanto una incrustación natural de en . Podemos entonces definir el grupo conmutativo ordenado linealmente y el cuerpo ordenado que es el cuerpo de transseries sin logaritmo. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ ${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$

El campo es un subcampo propio del campo de series bien basadas con coeficientes reales y monomios en . De hecho, cada serie en tiene una profundidad exponencial acotada, es decir, el menor entero positivo tal que , mientras que la serie ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$

no tiene tal límite.

Exponenciación en : ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$

El cuerpo de transseries sin logaritmo está equipado con una función exponencial que es un morfismo específico . Sea una transserie sin logaritmo y sea la profundidad exponencial de , por lo que . Escríbala como la suma en donde , es un número real y es infinitesimal (cualquiera de ellos podría ser cero). Entonces la suma formal de Hahn ${\displaystyle \exp :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

converge en , y definimos donde es el valor de la función exponencial real en . ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ ${\displaystyle \exp(r)}$ ${\displaystyle r}$

Composición correcta con : ${\displaystyle e^{x}}$

Una composición correcta con la serie se puede definir por inducción sobre la profundidad exponencial por ${\displaystyle \circ _{e^{x}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle \left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),}$

con . Se sigue inductivamente que los monomios se conservan por lo que en cada paso inductivo las sumas están bien basadas y, por lo tanto, bien definidas. ${\displaystyle x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}}$ ${\displaystyle \circ _{e^{x}},}$

Transseries de log-exp

Definición:

La función definida anteriormente no es sobreyectiva, por lo que el logaritmo solo está parcialmente definido en : por ejemplo, la serie no tiene logaritmo. Además, toda transserie positiva infinita sin logaritmo es mayor que alguna potencia positiva de . Para pasar de a , uno puede simplemente "conectar" en la variable de la serie logaritmos iterados formales que se comportarán como el recíproco formal del término exponencial iterado de -fold denotado . ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E,>}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell _{n},n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{n}}$

Para denotar el conjunto de expresiones formales donde . Lo convertimos en un grupo ordenado definiendo , y definiendo cuando . Definimos . Si y incrustamos en identificando un elemento con el término ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]}$ ${\displaystyle n'>n}$ ${\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m',n'}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.}$

Obtenemos entonces como unión dirigida ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.}$

En la composición correcta se define naturalmente por ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ ${\displaystyle \circ _{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Exponencial y logaritmo:

La exponenciación se puede definir de manera similar a la de las transseries libres de logaritmo, pero aquí también tiene un recíproco en . De hecho, para una serie estrictamente positiva , escriba donde es el monomio dominante de (el elemento más grande de su soporte), es el coeficiente real positivo correspondiente y es infinitesimal. La suma formal de Hahn ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>}}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}}$ ${\displaystyle f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1}$

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}}$

converge en . Escribe donde tiene la forma donde y . Definimos . Finalmente establecemos ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Usando números surrealistas

Construcción directa de transseries log-exp

También se puede definir el campo de transseries log-exp como un subcampo del campo ordenado de números surrealistas. ^[4] El campo está equipado con las funciones exponenciales y logarítmicas de Gonshor-Kruskal ^[5] y con su estructura natural de campo de series bien basadas bajo la forma normal de Conway. ^[6] ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbf {No} }$

Definamos , el subcuerpo de generado por y el número surrealista infinito positivo más simple (que corresponde naturalmente al ordinal , y como transserie a la serie ). Luego, para , definamos como el cuerpo generado por , exponenciales de elementos de y logaritmos de elementos estrictamente positivos de , así como sumas (de Hahn) de familias sumables en . La unión es naturalmente isomorfa a . De hecho, existe un único isomorfismo de este tipo que envía a y conmuta con exponenciación y sumas de familias sumables en que se encuentran en . ${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{n+1}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$ ${\displaystyle F_{\omega }}$

Otros campos de transseries

• Continuando este proceso por inducción transfinita en más allá de , tomando uniones en ordinales límite, se obtiene un cuerpo de tamaño de clase apropiado canónicamente equipado con una derivación y una composición que extiende la de (ver Operaciones en transseries a continuación). ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$ ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• Si en lugar de uno comienza con el subcampo generado por y todas las iteraciones finitas de en , y para es el subcampo generado por , exponenciales de elementos de y sumas de familias sumables en , entonces se obtiene una copia isomorfa del campo de transseries exponencial-logarítmicas , que es una extensión propia de equipado con una función exponencial total. ^[7] ${\displaystyle F_{0}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

La derivación de Berarducci-Mantova ^[8] coincide con su derivación natural, y es única para satisfacer las relaciones de compatibilidad con la estructura de campo ordenado exponencial y la estructura de campo de serie generalizada de y ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

Al contrario de la derivación en y no es sobreyectiva: por ejemplo la serie ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}}$

no tiene una antiderivada en o (esto está relacionado con el hecho de que esos campos no contienen ninguna función transexponencial). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

Propiedades adicionales

Operaciones sobre transseries

Operaciones sobre el campo ordenado exponencial diferencial

Las transseries tienen propiedades de cierre muy fuertes y se pueden definir muchas operaciones en transseries:

• Las transseries log-exp forman un cuerpo ordenado exponencialmente cerrado : las funciones exponencial y logarítmica son totales. Por ejemplo:

${\displaystyle \exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.}$

• El logaritmo se define para argumentos positivos.
• Las transseries log-exp son realmente cerradas .
• Integración: cada transserie log-exp tiene una antiderivada única con término constante cero , y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle F'=f}$ ${\displaystyle F_{1}=0}$
• Antiderivada logarítmica: para , hay con . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f'=fh'}$

Nota 1. Las dos últimas propiedades significan que Liouville está cerrado . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Nota 2. Al igual que una función no trigonométrica elemental, cada transserie infinita positiva tiene exponencialidad integral, incluso en este sentido fuerte: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{n-k}+1.}$

El número es único, se llama exponencialidad de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Composición de transseries

Una propiedad original de es que admite una composición (donde es el conjunto de transseries log-exp infinitas positivas) que nos permite ver cada transseries log-exp como una función en . Hablando informalmente, para y , la serie se obtiene reemplazando cada ocurrencia de la variable en por . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \circ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Propiedades

• Asociatividad: para y , tenemos y . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle g,h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$
• Compatibilidad de composiciones de derechas: Para , la función es un automorfismo de cuerpo de que conmuta con sumas formales, envía a , a y a . También tenemos . ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle \circ _{g}:f\mapsto f\circ g}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \exp(g)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \log(g)}$ ${\displaystyle \circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}}$
• Unicidad: la composición es única para satisfacer las dos propiedades anteriores.
• Monotonía: para , la función es constante o estrictamente monótona en . La monotonía depende del signo de . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f'}$
• Regla de la cadena: para y , tenemos . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}\times }$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle (f\circ g)'=g'f'\circ g}$
• Inversa funcional: para , existe una única serie con . ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\circ h=h\circ g=x}$
• Expansiones de Taylor: cada transserie log-exp tiene una expansión de Taylor alrededor de cada punto en el sentido de que para cada y para suficientemente pequeños , tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^{k}}$

donde la suma es una suma de Hahn formal de una familia sumable.

• Iteración fraccionaria: para con exponencialidad y cualquier número real , se define la iteración fraccionaria de . ^[9] ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{a}}$ ${\displaystyle f}$

Decidibilidad y teoría de modelos

Teoría de campos diferenciales ordenados de valor diferencial

La teoría de es decidible y se puede axiomatizar de la siguiente manera (este es el Teorema 2.2 de Aschenbrenner et al.): ${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es un campo diferencial de valor ordenado.
• ${\displaystyle f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0}$
• ${\displaystyle f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1}$
• ${\displaystyle \forall f\exists g:\quad g'=f}$
• ${\displaystyle \forall f\exists h:\quad h'=fh}$
• Propiedad de valor intermedio (PII):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

donde P es un polinomio diferencial, es decir, un polinomio en ${\displaystyle f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.}$

En esta teoría, la exponenciación se define esencialmente para funciones (usando diferenciación) pero no para constantes; de hecho, cada subconjunto definible de es semialgebraico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Teoría del campo exponencial ordenado

La teoría de es la del campo exponencial real ordenado exponencial , que es modelo completo por el teorema de Wilkie . ${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$

Campos resistentes

${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$es el cuerpo de transseries acelero-sumables, y usando la acelerosuma, tenemos el cuerpo de Hardy correspondiente , que se conjetura que es el cuerpo de Hardy máximo correspondiente a un subcuerpo de . (Esta conjetura es informal ya que no hemos definido qué isomorfismos de cuerpos de Hardy en subcuerpos diferenciales de están permitidos). se conjetura que satisface los axiomas anteriores de . Sin definir la acelerosuma, notamos que cuando las operaciones en transseries convergentes producen una divergente mientras que las mismas operaciones en los gérmenes correspondientes producen un germen válido, entonces podemos asociar las transseries divergentes con ese germen. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Se dice que un campo Hardy es máximo si no está contenido en ningún campo Hardy. Mediante una aplicación del lema de Zorn, todo campo Hardy está contenido en un campo Hardy máximo. Se conjetura que todos los campos Hardy máximos son equivalentes elementales como campos diferenciales, y de hecho tienen la misma teoría de primer orden que . ^[10] Las transseries logarítmicas no corresponden en sí mismas a un campo Hardy máximo, ya que no toda transseries corresponde a una función real, y los campos Hardy máximos siempre contienen funciones transexponenciales. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Véase también

• Serie de potencias formales
• Serie Hahn
• Campo cerrado exponencialmente
• Campo resistente

Referencias

1. Dahn, Bernd y Göring, Peter, Notas sobre términos logarítmicos exponenciales, Fundamenta Mathematicae, 1987
2. Ecalle, Jean, Introducción a las funciones analizables y preuve constructiva de la conjetura de Dulac , Actualités mathématiques (París), Hermann, 1992
3. Schmeling, Michael, Corps de transséries, tesis doctoral, 2001
4. Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Transseries como gérmenes de funciones surrealistas, Transactions of the American Mathematical Society, 2017
5. Gonshor, Harry, Introducción a la teoría de los números surrealistas , 'Cambridge University Press', 1986
6. Conway, John, Horton, Sobre números y juegos, Academic Press, Londres, 1976
7. Kuhlmann, Salma y Tressl, Marcus, Comparación de series exponenciales-logarítmicas y logarítmicas-exponenciales, Mathematical Logic Quarterly, 2012
8. Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Números surrealistas, derivaciones y transseries, European Mathematical Society, 2015
9. Edgar, GA (2010), Iteración fraccionaria de series y transseries , arXiv : 1002.2378 , Bibcode :2010arXiv1002.2378E
10. Aschenbrenner, Matthias y van den Dries, Lou y van der Hoeven, Joris, Sobre números, gérmenes y transseries, en Proc. Int. Cong. de Matemáticas. , vol. 1, págs. 1 a 24, 2018
11. Boshernitzan, Michael, Campos de Hardy y existencia de funciones transexponenciales , En aequationes mathematicae , vol. 30, número 1, págs. 258–280, 1986.

• Edgar, GA (2010), "Transseries para principiantes", Real Analysis Exchange , 35 (2): 253–310, arXiv : 0801.4877 , doi :10.14321/realanalexch.35.2.0253, S2CID  14290638.
• Aschenbrenner, Matías; Seca, Lou van den; Hoeven, Joris van der (2017), Sobre números, gérmenes y transseries , arXiv : 1711.06936 , Bibcode :2017arXiv171106936A.