Función logarítmicamente cóncava

En el análisis convexo , una función no negativa $f : R n \to R +$ es logarítmicamente cóncava (o log-cóncava para abreviar) si su dominio es un conjunto convexo y si satisface la desigualdad

f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

para todo $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ . Si $f$ es estrictamente positiva, esto equivale a decir que el logaritmo de la función, $log \circ f$ , es cóncavo ; eso es,

\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)

para todo $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ .

Ejemplos de funciones log-cóncavas son las funciones indicadoras 0-1 de conjuntos convexos (que requieren una definición más flexible) y la función gaussiana .

De manera similar, una función es logconvexa si satisface la desigualdad inversa

f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

para todo $x, y \in dom f$ y $0 < θ < 1$ .

Propiedades

Una función logcóncava también es cuasicóncava . Esto se desprende del hecho de que el logaritmo es monótono, lo que implica que los conjuntos de supernivel de esta función son convexos. ^[1]
Toda función cóncava que no sea negativa en su dominio es logcóncava. Sin embargo, lo contrario no necesariamente se cumple. Un ejemplo es la función gaussiana $f (x)$ = $exp(- x 2 /2)$ que es log-cóncava ya que $log f (x)$ = $- x 2 /2$ es una función cóncava de $x$ . Pero $f$ no es cóncava ya que la segunda derivada es positiva para | $x$ | > 1:

f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0

Desde arriba dos puntos, concavidad log-concavidad cuasiconcavidad . $\Rightarrow$ $\Rightarrow$
Una función no negativa dos veces diferenciable con un dominio convexo es log-cóncava si y solo si para todo $x$ que satisfaga $f (x) > 0$ ,

f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

, ^[1]

es decir

f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

semidefinido negativo . Para funciones de una variable, esta condición se simplifica a

f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}

Operaciones que preservan la concavidad del registro.

Productos: El producto de funciones log-cóncavas también es log-cóncava. De hecho, si $f$ y $g$ son funciones log-cóncavas, entonces $log f$ y $log g$ son cóncavos por definición. Por lo tanto

\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))

es cóncavo y, por tanto, también

f g

es log-cóncavo.

Marginales : si $f (x, y)$ : $R n + m \to R$ es log-cóncavo, entonces

g(x)=\int f(x,y)dy

es log-cóncava (ver desigualdad de Prékopa-Leindler ).

Esto implica que la convolución preserva la concavidad logarítmica, ya que $h (x, y)$ = $f (x - y) g (y)$ es log cóncava si $f$ y $g$ son log cóncavas y, por lo tanto,

(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy

es log-cóncavo.

Distribuciones log-cóncavas

Las distribuciones log-cóncavas son necesarias para varios algoritmos, por ejemplo, el muestreo de rechazo adaptativo . Cada distribución con densidad logarítmica cóncava es una distribución de probabilidad de entropía máxima con una media μ especificada y una medida de riesgo de desviación D. ^[2] Da la casualidad de que muchas distribuciones de probabilidad comunes son log-cóncavas. Algunos ejemplos: ^[3]

La distribución normal y distribuciones normales multivariadas .
La distribución exponencial .
La distribución uniforme sobre cualquier conjunto convexo .
La distribución logística .
La distribución de valores extremos .
La distribución de Laplace .
La distribución del chi .
La distribución secante hiperbólica .
La distribución Wishart , donde n >= p + 1. ^[4]
La distribución de Dirichlet , donde todos los parámetros son >= 1. ^[4]
La distribución gamma si el parámetro de forma es >= 1.
La distribución chi-cuadrado si el número de grados de libertad es >= 2.
La distribución beta si ambos parámetros de forma son >= 1.
La distribución de Weibull si el parámetro de forma es >= 1.

Tenga en cuenta que todas las restricciones de parámetros tienen la misma fuente básica: el exponente de la cantidad no negativa debe ser no negativo para que la función sea logcóncava.

Las siguientes distribuciones no son logcóncavas para todos los parámetros:

Tenga en cuenta que la función de distribución acumulativa (CDF) de todas las distribuciones log-cóncavas también es log-cóncava. Sin embargo, algunas distribuciones no log-cóncavas también tienen CDF log-cóncavas:

La distribución log-normal .
La distribución de Pareto .
La distribución de Weibull cuando el parámetro de forma <1.
La distribución gamma cuando el parámetro de forma <1.

Entre las propiedades de las distribuciones log-cóncavas se encuentran las siguientes:

Si una densidad es logcóncava, también lo es su función de distribución acumulativa (CDF).
Si una densidad multivariada es logcóncava, también lo es la densidad marginal sobre cualquier subconjunto de variables.
La suma de dos variables aleatorias log-cóncavas independientes es log-cóncava. Esto se desprende del hecho de que la convolución de dos funciones log-cóncavas es log-cóncava.
El producto de dos funciones log-cóncavas es log-cóncava. Esto significa que las densidades conjuntas formadas multiplicando dos densidades de probabilidad (por ejemplo, la distribución gamma normal , que siempre tiene un parámetro de forma >= 1) serán logcóncavas. Esta propiedad se utiliza mucho en programas de muestreo de Gibbs de propósito general como BUGS y JAGS , que por lo tanto pueden utilizar muestreo de rechazo adaptativo en una amplia variedad de distribuciones condicionales derivadas del producto de otras distribuciones.
Si una densidad es logcóncava, también lo es su función de supervivencia . ^[3]
Si una densidad es logcóncava, tiene una tasa de riesgo monótona (MHR) y es una distribución regular ya que la derivada del logaritmo de la función de supervivencia es la tasa de riesgo negativa, y por concavidad es monótona, es decir

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

que es decreciente por ser derivada de una función cóncava.

Ver también

Notas

^ ab Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). "Funciones log-cóncavas y log-convexas". Optimizacion convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 104-108. ISBN 0-521-83378-7.
^ Grechuk, Bogdán; Molyboha, Antón; Zabarankin, Michael (2009). "Principio de máxima entropía con medidas de desviación general". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 34 (2): 445–467. doi :10.1287/moor.1090.0377.
^ ab Véase Bagnoli, Mark; Bergstrom, Ted (2005). "Probabilidad logarítmica cóncava y sus aplicaciones" (PDF) . Teoría económica . 26 (2): 445–469. doi :10.1007/s00199-004-0514-4. S2CID 1046688.
^ ab Prekopa, András (1971). "Medidas cóncavas logarítmicas con aplicación a programación estocástica". Acta Scientiarum Mathematicarum . 32 : 301–316.

Referencias

Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Información y familias exponenciales en teoría estadística . Serie Wiley en probabilidad y estadística matemática. Chichester: John Wiley \& Sons, Ltd. págs. ix+238 págs. ISBN 0-471-99545-2. SEÑOR 0489333.
Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988). Unimodalidad, convexidad y aplicaciones . Probabilidad y Estadística Matemática. Boston, MA: Academic Press, Inc. págs. xiv+278. ISBN 0-12-214690-5. SEÑOR 0954608.

Pfanzagl, Johann; con la ayuda de R. Hamböker (1994). Teoría estadística paramétrica . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. SEÑOR 1291393.

Pečarić, Josip E.; Proschan, Frank; Tong, YL (1992). Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. vol. 187. Boston, MA: Academic Press, Inc. págs. xiv + 467 págs. ISBN 0-12-549250-2. SEÑOR 1162312.