El erlang (símbolo E [1] ) es una unidad adimensional que se utiliza en telefonía como medida de la carga ofrecida o transportada en elementos que prestan servicios, como circuitos telefónicos o equipos de conmutación telefónica. Un circuito de un solo cable tiene la capacidad de utilizarse durante 60 minutos en una hora. La utilización completa de esa capacidad, 60 minutos de tráfico, constituye 1 erlang. [2]
El tráfico transportado en erlangs es la cantidad promedio de llamadas concurrentes medidas durante un período determinado (a menudo una hora), mientras que el tráfico ofrecido es el tráfico que se transportaría si todos los intentos de llamada tuvieran éxito. La cantidad de tráfico ofrecido que se transporta en la práctica dependerá de lo que suceda con las llamadas no respondidas cuando todos los servidores estén ocupados.
El CCITT denominó a la unidad internacional de tráfico telefónico erlang en 1946 en honor a Agner Krarup Erlang . [3] [4] En el análisis de Erlang del uso eficiente de la línea telefónica, derivó las fórmulas para dos casos importantes, Erlang-B y Erlang-C, que se convirtieron en resultados fundamentales en la ingeniería de teletráfico y la teoría de colas . Sus resultados, que todavía se utilizan hoy en día, relacionan la calidad del servicio con la cantidad de servidores disponibles. Ambas fórmulas toman la carga ofrecida como una de sus entradas principales (en erlangs), que a menudo se expresa como tasa de llegada de llamadas por la duración promedio de la llamada.
Un supuesto distintivo detrás de la fórmula Erlang B es que no hay cola, de modo que si todos los elementos de servicio ya están en uso, entonces una nueva llamada que llegue será bloqueada y posteriormente perdida. La fórmula proporciona la probabilidad de que esto ocurra. En contraste, la fórmula Erlang C prevé la posibilidad de una cola ilimitada y proporciona la probabilidad de que una nueva llamada deba esperar en la cola debido a que todos los servidores están en uso. Las fórmulas de Erlang se aplican de manera bastante amplia, pero pueden fallar cuando la congestión es especialmente alta y hace que el tráfico fallido vuelva a intentarlo repetidamente. Una forma de contabilizar los reintentos cuando no hay cola disponible es el método Erlang B extendido.
Cuando se utiliza para representar el tráfico transportado , un valor (que puede ser un número no entero, como 43,5) seguido de "erlangs" representa el número promedio de llamadas concurrentes transportadas por los circuitos (u otros elementos que proporcionan servicios), donde ese promedio se calcula durante un período de tiempo razonable. El período durante el cual se calcula el promedio es a menudo una hora, pero se pueden utilizar períodos más cortos (por ejemplo, 15 minutos) cuando se sabe que hay breves picos de demanda y se desea una medición del tráfico que no enmascare estos picos. Un erlang de tráfico transportado se refiere a un único recurso que está en uso continuo, o dos canales que están cada uno en uso el cincuenta por ciento del tiempo, y así sucesivamente. Por ejemplo, si una oficina tiene dos operadores telefónicos que están ocupados todo el tiempo, eso representaría dos erlangs (2 E) de tráfico; o se dice que un canal de radio que está ocupado continuamente durante el período de interés (por ejemplo, una hora) tiene una carga de 1 erlang.
Cuando se utiliza para describir el tráfico ofrecido , un valor seguido de “erlangs” representa el número promedio de llamadas concurrentes que se habrían realizado si hubiera un número ilimitado de circuitos (es decir, si los intentos de llamada que se realizaron cuando todos los circuitos estaban en uso no se hubieran rechazado). La relación entre el tráfico ofrecido y el tráfico realizado depende del diseño del sistema y del comportamiento del usuario. Tres modelos comunes son (a) los llamantes cuyos intentos de llamada son rechazados se van y nunca vuelven, (b) los llamantes cuyos intentos de llamada son rechazados lo intentan de nuevo dentro de un espacio de tiempo bastante corto, y (c) el sistema permite a los usuarios esperar en cola hasta que un circuito esté disponible.
Una tercera medida del tráfico es el tráfico instantáneo , expresado como una cierta cantidad de erlangs, es decir, la cantidad exacta de llamadas que se realizan en un momento determinado. En este caso, el número es un entero no negativo. Los dispositivos de registro del nivel de tráfico, como los registradores de pluma móvil, trazan el tráfico instantáneo.
Los conceptos y las matemáticas introducidas por Agner Krarup Erlang tienen una amplia aplicabilidad más allá de la telefonía. Se aplican allí donde los usuarios llegan de forma más o menos aleatoria para recibir un servicio exclusivo de cualquiera de un grupo de elementos que prestan servicios sin reserva previa, por ejemplo, cuando los elementos que prestan servicios son ventanillas de venta de billetes, baños de un avión o habitaciones de motel. (Los modelos de Erlang no se aplican cuando los elementos que prestan servicios son compartidos entre varios usuarios simultáneos o cuando distintos usuarios consumen distintas cantidades de servicio, por ejemplo, en circuitos que transportan tráfico de datos).
El objetivo de la teoría de tráfico de Erlang es determinar exactamente cuántos elementos de prestación de servicios se deben proporcionar para satisfacer a los usuarios, sin un exceso de aprovisionamiento innecesario. Para ello, se establece un objetivo para el grado de servicio (GoS) o la calidad de servicio (QoS). Por ejemplo, en un sistema en el que no hay colas, el GoS puede ser que no más de 1 llamada de cada 100 se bloquee (es decir, se rechace) debido a que todos los circuitos están en uso (un GoS de 0,01), que se convierte en la probabilidad objetivo de bloqueo de llamadas, P b , cuando se utiliza la fórmula B de Erlang.
Existen varias fórmulas resultantes, entre ellas Erlang B, Erlang C y la fórmula relacionada de Engset , basadas en diferentes modelos de comportamiento del usuario y funcionamiento del sistema. Cada una de ellas puede derivarse mediante un caso especial de procesos de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento-muerte . El método Erlang B extendido, más reciente, proporciona una solución de tráfico adicional que se basa en los resultados de Erlang.
El tráfico ofrecido (en erlangs) está relacionado con la tasa de llegada de llamadas , λ , y el tiempo promedio de retención de llamadas (el tiempo promedio de una llamada telefónica), h , por:
siempre que h y λ se expresen utilizando las mismas unidades de tiempo (segundos y llamadas por segundo, o minutos y llamadas por minuto).
La medición práctica del tráfico se basa normalmente en observaciones continuas a lo largo de varios días o semanas, durante las cuales se registra el tráfico instantáneo a intervalos regulares y cortos (por ejemplo, cada pocos segundos). Estas mediciones se utilizan luego para calcular un único resultado, más comúnmente el tráfico de la hora pico (en erlangs). Este es el número promedio de llamadas simultáneas durante un período determinado de una hora del día, donde ese período se selecciona para dar el resultado más alto. (Este resultado se denomina tráfico de la hora pico consistente en el tiempo). Una alternativa es calcular un valor de tráfico de la hora pico por separado para cada día (que puede corresponder a horas ligeramente diferentes cada día) y tomar el promedio de estos valores. Esto generalmente da un valor ligeramente más alto que el valor de la hora pico consistente en el tiempo.
Cuando el tráfico transportado en horas punta, E c , se mide en un sistema ya sobrecargado, con un nivel significativo de bloqueo, es necesario tener en cuenta las llamadas bloqueadas al estimar el tráfico ofrecido en horas punta E o (que es el valor de tráfico que se utilizará en las fórmulas de Erlang). El tráfico ofrecido se puede estimar mediante E o = E c /(1 − P b ). Para este fin, cuando el sistema incluye un medio para contar las llamadas bloqueadas y las llamadas exitosas, P b se puede estimar directamente a partir de la proporción de llamadas que están bloqueadas. En su defecto, P b se puede estimar utilizando E c en lugar de E o en la fórmula de Erlang y la estimación resultante de P b se puede utilizar entonces en E o = E c /(1 − P b ) para proporcionar una primera estimación de E o .
Otro método para estimar E o en un sistema sobrecargado es medir la tasa de llegada de llamadas en horas pico, λ (contando llamadas exitosas y llamadas bloqueadas), y el tiempo promedio de retención de llamadas (para llamadas exitosas), h , y luego estimar E o utilizando la fórmula E = λh .
En una situación en la que el tráfico a gestionar es completamente nuevo, la única opción es intentar modelar el comportamiento esperado de los usuarios. Por ejemplo, se podría estimar la población de usuarios activos, N , el nivel de uso esperado, U (número de llamadas/transacciones por usuario por día), el factor de concentración en horas punta, C (proporción de la actividad diaria que caerá en la hora punta) y el tiempo de espera/tiempo de servicio promedio, h (expresado en minutos). Una proyección del tráfico ofrecido en horas punta sería entonces E o = Unidad Central de Cuidados Intensivos (UCI)/60 h erlangs. (La división por 60 traduce la tasa de llegada de llamadas/transacciones en hora punta a un valor por minuto, para que coincida con las unidades en las que se expresa h ).
La fórmula Erlang B (o Erlang-B con un guion), también conocida como fórmula de pérdida de Erlang , es una fórmula para la probabilidad de bloqueo que describe la probabilidad de pérdidas de llamadas para un grupo de recursos paralelos idénticos (líneas telefónicas, circuitos, canales de tráfico o equivalentes), a veces denominado cola M/M/c/c . [5] Se utiliza, por ejemplo, para dimensionar los enlaces de una red telefónica. La fórmula fue derivada por Agner Krarup Erlang y no se limita a las redes telefónicas, ya que describe una probabilidad en un sistema de colas (aunque sea un caso especial con varios servidores pero sin espacio de cola para que las llamadas entrantes esperen a un servidor libre). Por lo tanto, la fórmula también se utiliza en ciertos sistemas de inventario con ventas perdidas.
La fórmula se aplica bajo la condición de que una llamada fallida, debido a que la línea está ocupada, no se pone en cola ni se vuelve a intentar, sino que realmente desaparece para siempre. Se supone que los intentos de llamada llegan siguiendo un proceso de Poisson , por lo que los instantes de llegada de las llamadas son independientes. Además, se supone que las longitudes de los mensajes (tiempos de espera) se distribuyen exponencialmente (sistema markoviano), aunque la fórmula resulta ser aplicable bajo distribuciones generales de tiempo de espera.
La fórmula de Erlang B supone una población infinita de fuentes (como los abonados telefónicos), que ofrecen conjuntamente tráfico a N servidores (como las líneas telefónicas). La tasa que expresa la frecuencia con la que llegan nuevas llamadas, λ, (tasa de natalidad, intensidad de tráfico, etc.) es constante y no depende del número de fuentes activas. Se supone que el número total de fuentes es infinito. La fórmula de Erlang B calcula la probabilidad de bloqueo de un sistema de pérdida sin búfer, donde una solicitud que no se atiende inmediatamente se aborta, lo que hace que ninguna solicitud se ponga en cola. El bloqueo se produce cuando llega una nueva solicitud en un momento en el que todos los servidores disponibles están ocupados en ese momento. La fórmula también supone que el tráfico bloqueado se elimina y no regresa.
La fórmula proporciona el GoS ( grado de servicio ), que es la probabilidad P b de que una nueva llamada que llega al grupo de recursos sea rechazada porque todos los recursos (servidores, líneas, circuitos) están ocupados: B ( E , m ) donde E es el tráfico total ofrecido en erlang, ofrecido a m recursos paralelos idénticos (servidores, canales de comunicación, carriles de tráfico).
dónde:
Nota: Erlang es una unidad de carga adimensional calculada como la tasa de llegada media, λ, multiplicada por el tiempo medio de espera de llamadas, h . Consulte la ley de Little para demostrar que la unidad de Erlang debe ser adimensional para que la ley de Little sea dimensionalmente correcta.
Esto puede expresarse recursivamente [6] de la siguiente manera, en una forma que se utiliza para simplificar el cálculo de tablas de la fórmula Erlang B:
Normalmente, en lugar de B ( E , m ) se calcula el inverso 1/ B ( E , m ) en el cálculo numérico para garantizar la estabilidad numérica :
Función ErlangB ( E como Double , m como Integer ) como Double Dim InvB como Double Dim j como Integer InvB = 1.0 Para j = 1 Hasta m InvB = 1.0 + InvB * j / E Siguiente j ErlangB = 1.0 / InvB Fin de la función o una versión de Python
def erlang_b ( E , m : int ) -> float : """Calcular la probabilidad de pérdidas de llamadas.""" inv_b = 1.0 para j en rango ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b La fórmula de Erlang B es decreciente y convexa en m . [7] Requiere que las llegadas de llamadas puedan ser modeladas por un proceso de Poisson , que no siempre es una buena coincidencia, pero es válido para cualquier distribución estadística de tiempos de retención de llamadas con una media finita. Se aplica a sistemas de transmisión de tráfico que no almacenan tráfico en búfer. Ejemplos más modernos en comparación con POTS donde Erlang B todavía es aplicable, son la conmutación de ráfagas ópticas (OBS) y varios enfoques actuales para la conmutación de paquetes ópticos (OPS). Erlang B se desarrolló como una herramienta de dimensionamiento de troncales para redes telefónicas con tiempos de retención en el rango de minutos, pero al ser una ecuación matemática se aplica en cualquier escala de tiempo.
El Erlang B extendido se diferencia de los supuestos clásicos del Erlang-B al permitir que una proporción de los llamantes bloqueados vuelvan a intentarlo, lo que provoca un aumento en el tráfico ofrecido con respecto al nivel de referencia inicial. Es un cálculo iterativo en lugar de una fórmula y agrega un parámetro adicional, el factor de recuperación , que define los intentos de recuperación. [8]
Los pasos del proceso son los siguientes. [9] Comienza en la iteración con un nivel de tráfico inicial conocido , que se ajusta sucesivamente para calcular una secuencia de nuevos valores de tráfico ofrecidos , cada uno de los cuales tiene en cuenta las recuperaciones que surgen del tráfico ofrecido calculado previamente .
1. Calcule la probabilidad de que una persona que llama sea bloqueada en su primer intento
Como arriba para Erlang B.
2. Calcular el número probable de llamadas bloqueadas
3. Calcule el número de recuperaciones, , asumiendo un factor de recuperación fijo, ,
4. Calcular el nuevo tráfico ofrecido
¿Dónde está el nivel inicial (base) de tráfico?
5. Regrese al paso 1, sustituyendo por , e itere hasta obtener un valor estable de .
Una vez que se ha encontrado un valor satisfactorio , la probabilidad de bloqueo y el factor de recuperación se pueden utilizar para calcular la probabilidad de que se pierdan todos los intentos de una persona que llama, no solo su primera llamada sino también cualquier reintento posterior.
La fórmula Erlang C expresa la probabilidad de que un cliente que llega necesite hacer cola (en lugar de ser atendido inmediatamente). [10] Al igual que la fórmula Erlang B, Erlang C supone una población infinita de fuentes, que ofrecen conjuntamente tráfico de erlangs a los servidores. Sin embargo, si todos los servidores están ocupados cuando llega una solicitud de una fuente, la solicitud se pone en cola. De esta manera, se puede mantener en la cola un número ilimitado de solicitudes simultáneamente. Esta fórmula calcula la probabilidad de poner en cola el tráfico ofrecido, suponiendo que las llamadas bloqueadas permanecen en el sistema hasta que se puedan manejar. Esta fórmula se utiliza para determinar la cantidad de agentes o representantes de servicio al cliente necesarios para dotar de personal a un centro de llamadas , para una probabilidad deseada específica de puesta en cola. Sin embargo, la fórmula Erlang C supone que las personas que llaman nunca cuelgan mientras están en la cola, lo que hace que la fórmula prediga que se deben utilizar más agentes de los que realmente se necesitan para mantener un nivel de servicio deseado.
dónde:
Se supone que las llegadas de llamadas se pueden modelar mediante un proceso de Poisson y que los tiempos de retención de llamadas se describen mediante una distribución exponencial , por lo tanto, la fórmula Erlang C se deduce de los supuestos del modelo de cola M/M/c .
Cuando Erlang desarrolló las ecuaciones de tráfico Erlang-B y Erlang-C, se basaron en un conjunto de suposiciones. Estas suposiciones son precisas en la mayoría de las condiciones; sin embargo, en el caso de una congestión de tráfico extremadamente alta, las ecuaciones de Erlang no logran predecir con precisión el número correcto de circuitos necesarios debido al tráfico reentrante. Esto se denomina un sistema de alta pérdida , donde la congestión genera más congestión en las horas pico. En tales casos, primero es necesario que se pongan a disposición muchos circuitos adicionales para que se pueda aliviar la alta pérdida. Una vez que se haya tomado esta acción, la congestión volverá a niveles razonables y las ecuaciones de Erlang se pueden utilizar para determinar exactamente cuántos circuitos se requieren realmente. [11]
Un ejemplo de una situación que podría provocar el desarrollo de un sistema de pérdidas elevadas sería si un anuncio televisivo anunciara un número de teléfono en particular al que llamar a una hora específica. En este caso, una gran cantidad de personas llamarían simultáneamente al número proporcionado. Si el proveedor de servicios no hubiera atendido este pico de demanda repentino, se produciría una congestión de tráfico extrema y no se podrían utilizar las ecuaciones de Erlang. [11]
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