El movimiento de los fluidos se rige por las ecuaciones de Navier-Stokes , un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas y no lineales derivadas de las leyes básicas de conservación de la masa , el momento y la energía . Las incógnitas suelen ser la velocidad del flujo , la presión , la densidad y la temperatura . La solución analítica de esta ecuación es imposible, por lo que los científicos recurren a experimentos de laboratorio en tales situaciones. Sin embargo, las respuestas entregadas suelen ser cualitativamente diferentes, ya que es difícil aplicar similitudes dinámicas y geométricas simultáneamente entre el experimento de laboratorio y el prototipo . Además, el diseño y la construcción de estos experimentos pueden resultar difíciles (y costosos), especialmente para flujos giratorios estratificados. La dinámica de fluidos computacional (CFD) es una herramienta adicional en el arsenal de los científicos. En sus inicios, los CFD fueron a menudo controvertidos, ya que implicaban una aproximación adicional a las ecuaciones gobernantes y planteaban cuestiones adicionales (legítimas). Hoy en día, el CFD es una disciplina consolidada junto con métodos teóricos y experimentales. Esta posición se debe en gran parte al crecimiento exponencial de la potencia informática, que nos ha permitido abordar problemas cada vez mayores y más complejos.
El proceso central en CFD es el proceso de discretización , es decir, el proceso de tomar ecuaciones diferenciales con un número infinito de grados de libertad y reducirlas a un sistema de grados de libertad finitos. Por lo tanto, en lugar de determinar la solución en todas partes y para todos los tiempos, estaremos satisfechos con su cálculo en un número finito de ubicaciones y en intervalos de tiempo específicos. Luego, las ecuaciones diferenciales parciales se reducen a un sistema de ecuaciones algebraicas que se pueden resolver en una computadora. Los errores aparecen durante el proceso de discretización. Deberá controlarse la naturaleza y características de los errores para garantizar que:
Una vez establecidos estos dos criterios, se puede aprovechar el poder de las máquinas informáticas para resolver el problema de una manera numéricamente confiable. Se han desarrollado varios esquemas de discretización para hacer frente a una variedad de problemas. Los más destacables para nuestros propósitos son: métodos de diferencias finitas , métodos de volúmenes finitos, métodos de elementos finitos y métodos espectrales .
La diferencia finita reemplaza el proceso limitante infinitesimal del cálculo de la derivada:
con un proceso limitante finito, es decir
El término da una indicación de la magnitud del error en función del espaciamiento de la malla. En este caso, el error se reduce a la mitad si el espaciado de la cuadrícula, _x, se reduce a la mitad y decimos que este es un método de primer orden. La mayoría de FDM utilizados en la práctica tienen una precisión de al menos segundo orden, excepto en circunstancias muy especiales. El método de diferencias finitas sigue siendo el método numérico más popular para la solución de PDE debido a su simplicidad, eficiencia y bajo costo computacional. Su principal inconveniente es su inflexibilidad geométrica, que complica sus aplicaciones en dominios complejos generales. Estos pueden aliviarse mediante el uso de técnicas de mapeo y/o enmascaramiento para ajustar la malla computacional al dominio computacional.
El método de elementos finitos fue diseñado para abordar problemas con regiones computacionales complicadas. Primero, la PDE se reformula en una forma variacional que esencialmente obliga a que el error medio sea pequeño en todas partes. El paso de discretización procede dividiendo el dominio computacional en elementos de forma triangular o rectangular. La solución dentro de cada elemento se interpola con un polinomio generalmente de orden bajo. Nuevamente, las incógnitas son la solución en los puntos de colocación. La comunidad CFD adoptó el FEM en la década de 1980, cuando se idearon métodos confiables para abordar problemas dominados por la advección.
Tanto el método de elementos finitos como el de diferencias finitas son métodos de orden bajo, generalmente de segundo a cuarto orden, y tienen propiedad de aproximación local. Por local queremos decir que un punto de colocación particular se ve afectado por un número limitado de puntos a su alrededor. Por el contrario, el método espectral tiene propiedad de aproximación global. Las funciones de interpolación, ya sean polinomios o funciones trigonómicas, son de naturaleza global. Sus principales beneficios están en la tasa de convergencia que depende de la suavidad de la solución (es decir, cuántas derivadas continuas admite). Para una solución infinitamente suave, el error disminuye exponencialmente, es decir, más rápido que algebraico. Los métodos espectrales se utilizan principalmente en los cálculos de turbulencia homogénea y requieren geometrías relativamente simples. Los modelos atmosféricos también han adoptado métodos espectrales debido a sus propiedades de convergencia y la forma esférica regular de su dominio computacional.
Los métodos de volúmenes finitos se utilizan principalmente en aplicaciones aerodinámicas donde se producen fuertes impactos y discontinuidades en la solución. El método de volumen finito resuelve una forma integral de las ecuaciones gobernantes de modo que no es necesario que se cumpla la propiedad de continuidad local.
El tiempo de CPU para resolver el sistema de ecuaciones difiere sustancialmente de un método a otro. Las diferencias finitas suelen ser las más baratas por punto de cuadrícula, seguidas del método de elementos finitos y el método espectral. Sin embargo, una comparación por punto de la cuadrícula es un poco como comparar manzanas y naranjas. Los métodos espectrales ofrecen más precisión por punto de la cuadrícula que FEM o FDM . La comparación es más significativa si la pregunta se reformula como "¿cuál es el costo computacional para lograr una determinada tolerancia al error?". El problema pasa a ser definir la medida del error, lo cual es una tarea complicada en situaciones generales.
La ecuación es una aproximación explícita a la ecuación diferencial original ya que no se ha utilizado información sobre la función desconocida en el tiempo futuro ( n + 1) t en el lado derecho de la ecuación. Para derivar el error cometido en la aproximación nos basamos nuevamente en las series de Taylor .
Este es un ejemplo de método implícito ya que la incógnita u ( n + 1) se ha utilizado para evaluar la pendiente de la solución en el lado derecho; este no es un problema que deba resolverse para u ( n + 1) en este caso escalar y lineal. Para situaciones más complicadas, como un lado derecho no lineal o un sistema de ecuaciones, es posible que sea necesario invertir un sistema de ecuaciones no lineal.
Fuentes
Citas
