Grupo abeliano libre de torsión

Grupo abeliano sin elementos de torsión no triviales

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo abeliano libre de torsión es un grupo abeliano que no tiene elementos de torsión no triviales ; es decir, un grupo en el que la operación de grupo es conmutativa y el elemento identidad es el único elemento con orden finito .

Si bien los grupos abelianos generados finitamente están completamente clasificados, no se sabe mucho acerca de los grupos abelianos generados infinitamente, incluso en el caso contable libre de torsión. ^[1]

Definiciones

Se dice que un grupo abeliano está libre de torsión si ningún elemento aparte de la identidad es de orden finito . ^{[2] [3] [4]} Explícitamente, para cualquier , el único elemento para el cual es . ${\displaystyle \langle G,+,0\rangle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle nx=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Un ejemplo natural de un grupo libre de torsión es , ya que solo el entero 0 puede sumarse a sí mismo un número finito de veces para llegar a 0. De manera más general, el grupo abeliano libre es libre de torsión para cualquier . Un paso importante en la prueba de la clasificación de grupos abelianos generados finitamente es que cada uno de esos grupos libres de torsión es isomorfo a un . ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

Un ejemplo contable no finitamente generado lo da el grupo aditivo del anillo polinomial (el grupo abeliano libre de rango contable). ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Ejemplos más complicados son el grupo aditivo del cuerpo racional , o sus subgrupos como (números racionales cuyo denominador es una potencia de ). Ejemplos aún más complejos los dan los grupos de rango superior . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]}$ ${\displaystyle p}$

Grupos de rango 1

Rango

El rango de un grupo abeliano es la dimensión del espacio vectorial . Equivalentemente, es la cardinalidad máxima de un subconjunto linealmente independiente (sobre ) de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$

Si no tiene torsión, entonces se inyecta en . Por lo tanto, los grupos abelianos sin torsión de rango 1 son exactamente subgrupos del grupo aditivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Clasificación

Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 han sido completamente clasificados. Para ello, se asocia a un grupo un subconjunto de los números primos, de la siguiente manera: se elige cualquier , para un primo decimos que si y solo si para cada . Esto no depende de la elección de ya que para otro existe tal que . Baer demostró ^{[5] [6]} que es un invariante de isomorfismo completo para grupos abelianos libres de torsión de rango 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in p^{k}A}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle ny=mx}$ ${\displaystyle \tau (A)}$

Problema de clasificación en general

La dureza de un problema de clasificación para un cierto tipo de estructuras en un conjunto numerable se puede cuantificar utilizando la teoría de modelos y la teoría descriptiva de conjuntos . En este sentido, se ha demostrado que el problema de clasificación para grupos abelianos numerables libres de torsión es lo más difícil posible. ^[7]

Notas

1. Véase, por ejemplo, la introducción a Thomas, Simon (2003), "El problema de clasificación para grupos abelianos libres de torsión de rango finito", J. Am. Math. Soc. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Zbl  1021.03043
2. Fraleigh (1976, pág. 78)
3. Lang (2002, pág. 42)
4. Hungerford (1974, pág. 78)
5. Reinhold Baer (1937). "Grupos abelianos sin elementos de orden finito". Duke Mathematical Journal . 3 (1): 68–122. doi :10.1215/S0012-7094-37-00308-9.
6. Phillip A. Griffith (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.Capítulo VII.
7. Paolini, Gianluca; Shelah, Saharon (2021). "Los grupos abelianos sin torsión son completos según el método de Borel". arXiv : 2102.12371 [math.LO].

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Hungerford, Thomas W. (1974), Álgebra , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9.
• Lang, Serge (2002), Álgebra (3.ª edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-X.
• McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68-15225