Lente (geometría)

Región del plano convexo delimitada por dos arcos circulares

Una lente contenida entre dos arcos circulares de radio R y centros en O ₁ y O ₂

En geometría bidimensional , una lente es una región convexa delimitada por dos arcos circulares unidos entre sí en sus puntos finales. Para que esta forma sea convexa, ambos arcos deben arquearse hacia afuera (convexo-convexo). Esta forma se puede formar como la intersección de dos discos circulares . También puede formarse como la unión de dos segmentos circulares (regiones entre la cuerda de un círculo y el círculo mismo), unidos a lo largo de una cuerda común.

Tipos

Ejemplo de dos lentes asimétricas (izquierda y derecha) y una lente simétrica (en el medio)

La Vesica piscis es la intersección de dos discos del mismo radio, R, y con la distancia entre centros también igual a R.

Si los dos arcos de una lente tienen igual radio, se llama lente simétrica , en caso contrario es lente asimétrica .

La vesica piscis es una forma de lente simétrica, formada por arcos de dos círculos cuyos centros se encuentran cada uno en el arco opuesto. Los arcos se encuentran en ángulos de 120° en sus puntos finales.

Área

Simétrico

El área de una lente simétrica se puede expresar en términos del radio R y las longitudes de arco θ en radianes:

${\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

Asimétrico

El área de una lente asimétrica formada por círculos de radios R y r con distancia d entre sus centros es ^[1]

${\displaystyle A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta }$

dónde

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}}$

es el área de un triángulo con lados d , r y R .

Los dos círculos se superponen si . Para , la coordenada del centro de la lente se encuentra entre las coordenadas de los dos centros del círculo: ${\displaystyle d<r+R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

Para pequeñas, la coordenada del centro de la lente se encuentra fuera de la línea que conecta los centros del círculo: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

Eliminando y de las ecuaciones circulares y la abscisa de los bordes que se cruzan es ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)}$.

El signo de x , es decir, ser mayor o menor que , distingue los dos casos mostrados en las imágenes. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

La ordenada de la intersección es

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}}$.

Los valores negativos debajo de la raíz cuadrada indican que los bordes de los dos círculos no se tocan porque los círculos están demasiado separados o porque un círculo se encuentra completamente dentro del otro.

El valor bajo la raíz cuadrada es un polinomio bicuadrático de d . Las cuatro raíces de este polinomio están asociadas con y=0 y con los cuatro valores de d donde los dos círculos tienen solo un punto en común.

Los ángulos en el triángulo azul de lados d , r y R son

${\displaystyle \sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R}$

donde y es la ordenada de la intersección. La rama del arcosin con debe tomarse si . ${\displaystyle a_{r}>\pi /2}$ ${\displaystyle d^{2}<R^{2}-r^{2}}$

El área del triángulo es . ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}yd}$

El área de la lente asimétrica es , donde los dos ángulos se miden en radianes. [Esta es una aplicación del principio de inclusión-exclusión : los dos sectores circulares centrados en (0,0) y (d,0) con ángulos centrales y tienen áreas y . Su unión cubre el triángulo, el triángulo invertido con esquina en (x,-y) y el doble del área de la lente.] ${\displaystyle A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd}$ ${\displaystyle 2a_{r}}$ ${\displaystyle 2a_{R}}$ ${\displaystyle 2a_{r}r^{2}}$ ${\displaystyle 2a_{R}R^{2}}$

Aplicaciones

Una lente con una forma diferente constituye la respuesta al problema de la Sra. Miniver , al encontrar una lente con la mitad del área de unión de los dos círculos.

Las lentes se utilizan para definir esqueletos beta , gráficos geométricos definidos sobre un conjunto de puntos conectando pares de puntos por un borde siempre que una lente determinada por los dos puntos esté vacía.

Ver también

• Intersección círculo-círculo
• Luna , una forma no convexa relacionada formada por dos arcos circulares, uno inclinado hacia afuera y el otro hacia adentro.
• Limón , creado por una lente que gira alrededor de un eje que pasa por sus puntas. ^[2]

Un limón .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Lente". MundoMatemático .
2. Weisstein, Eric W. "Limón". Wolfram MathWorld . Consultado el 4 de noviembre de 2019 .

• Pedoe, D. (1995). "Círculos: una visión matemática, ed. rev.". Washington, DC: Matemáticas. Asociación. América . SEÑOR  1349339.
• Plummer, H. (1960). Un tratado introductorio a la astronomía dinámica . York: Dover. Código bibliográfico : 1960aitd.book.....P.
• Watson, GN (1966). Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel, 2ª ed . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. SEÑOR  1349110.
• Fewell, diputado (2006). "Área de superposición común de tres círculos". Organización de Ciencia y Tecnología de Defensa. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2022.
• Librión, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). "Una solución algorítmica para calcular áreas de intersección de círculos y su aplicación a las comunicaciones inalámbricas". Alambre. Comunitario. Computación móvil . 14 (18): 1672-1690. arXiv : 1204.3569 . doi :10.1002/wcm.2305. S2CID  2828261.