Lema fundamental (programa Langlands)

Teorema en álgebra abstracta

En la teoría matemática de las formas automórficas , el lema fundamental relaciona las integrales orbitales de un grupo reductivo sobre un campo local con las integrales orbitales estables de sus grupos endoscópicos . ^{[ aclaración necesaria ]} Fue conjeturado por Robert Langlands  (1983) durante el desarrollo del programa Langlands . El lema fundamental fue demostrado por Gérard Laumon y Ngô Bảo Châu en el caso de grupos unitarios y luego por Ngô (2010) para grupos reductivos generales, basándose en una serie de reducciones importantes realizadas por Jean-Loup Waldspurger para el caso de las álgebras de Lie . La revista Time colocó la prueba de Ngô en la lista de los "10 principales descubrimientos científicos de 2009". ^[1] En 2010, Ngô recibió la Medalla Fields por esta prueba.

Motivación e historia

Langlands describió una estrategia para probar las conjeturas locales y globales de Langlands utilizando la fórmula de traza de Arthur-Selberg , pero para que este enfoque funcione, los lados geométricos de la fórmula de traza para diferentes grupos deben estar relacionados de una manera particular. Esta relación toma la forma de identidades entre integrales orbitales en grupos reductivos G y H sobre un campo local no arquimediano F , donde el grupo H , llamado grupo endoscópico de G , se construye a partir de G y algunos datos adicionales.

El primer caso considerado fue el de Labesse y Langlands (1979). Langlands y Diana Shelstad  (1987) desarrollaron el marco general de la teoría de la transferencia endoscópica y formularon conjeturas específicas. Sin embargo, durante las dos décadas siguientes sólo se logró un progreso parcial en la demostración del lema fundamental. ^{[2] [3]} Harris lo llamó un "cuello de botella que limitaba el progreso en una serie de cuestiones aritméticas". ^[4] El propio Langlands, escribiendo sobre los orígenes de la endoscopia, comentó: ${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$

... no es el lema fundamental como tal lo que es crítico para la teoría analítica de las formas automórficas y para la aritmética de las variedades de Shimura ; es la fórmula de traza estabilizada (o estable), la reducción de la fórmula de traza en sí misma a la fórmula de traza estable para un grupo y sus grupos endoscópicos, y la estabilización de la fórmula de Grothendieck-Lefschetz . Ninguna de estas es posible sin el lema fundamental y su ausencia hizo que el progreso fuera casi imposible durante más de veinte años. ^[5]

Declaración

El lema fundamental establece que una integral orbital O para un grupo G es igual a una integral orbital estable SO para un grupo endoscópico H , hasta un factor de transferencia Δ (Nadler 2012):

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})}$

dónde

• F es un campo local,
• G es un grupo no ramificado definido sobre F , en otras palabras, un grupo reductivo cuasi-escindido definido sobre F que se escinde sobre una extensión no ramificada de F ,
• H es un grupo endoscópico no ramificado de G asociado a κ,
• K _G y K _H son subgrupos compactos maximales hiperespeciales de G y H , lo que significa aproximadamente que son los subgrupos de puntos con coeficientes en el anillo de números enteros de F ,
• 1 _{K G} y 1 _{K H} son las funciones características de K _G y K _H ,
• Δ(γ _H ,γ _G ) es un factor de transferencia, una determinada expresión elemental que depende de γ _H y γ _G ,
• γ _H y γ _G son elementos de G y H que representan clases de conjugación estables, de modo que la clase de conjugación estable de G es la transferencia de la clase de conjugación estable de H ,
• κ es un carácter del grupo de clases de conjugación en la clase de conjugación estable de γ _G ,
• SO y O son integrales orbitales estables e integrales orbitales dependientes de sus parámetros.

Aproches

Shelstad (1982) demostró el lema fundamental para los campos de Arquímedes.

Waldspurger (1991) verificó el lema fundamental para grupos lineales generales.

Kottwitz (1992) y Blasius & Rogawski (1992) verificaron algunos casos del lema fundamental para grupos unitarios tridimensionales.

Hales (1997) y Weissauer (2009) verificaron el lema fundamental para los grupos simplécticos y simplécticos generales Sp ₄ , GSp ₄ .

Un artículo de George Lusztig y David Kazhdan señaló que las integrales orbitales podrían interpretarse como puntos de conteo en ciertas variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. Además, las integrales en cuestión pueden calcularse de una manera que depende solo del cuerpo de residuos de F ; y la cuestión puede reducirse a la versión del álgebra de Lie de las integrales orbitales. Luego, el problema se reformuló en términos de la fibra de Springer de grupos algebraicos. ^[6] El círculo de ideas se conectó a una conjetura de pureza ; Laumon dio una prueba condicional basada en tal conjetura, para grupos unitarios. Laumon y Ngô (2008) luego demostraron el lema fundamental para grupos unitarios, utilizando la fibración de Hitchin introducida por Ngô (2006), que es un análogo geométrico abstracto del sistema Hitchin de geometría algebraica compleja. Waldspurger (2006) demostró para las álgebras de Lie que el caso del cuerpo funcional implica el lema fundamental sobre todos los cuerpos locales, y Waldspurger (2008) demostró que el lema fundamental para las álgebras de Lie implica el lema fundamental para los grupos.

Notas

1. "Los 10 descubrimientos científicos más importantes de 2009". Time . Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2009. Consultado el 14 de diciembre de 2009 .
2. Kottwitz y Rogawski para , Wadspurger para , Hales y Weissauer para . ${\displaystyle {\rm {U}}_{3}}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}}$ ${\displaystyle {\rm {Sp}}_{4}}$
3. Lema fundamental y fibración de Hitchin Archivado el 17 de julio de 2011 en Wayback Machine , Gérard Laumon, 13 de mayo de 2009
4. INTRODUCCIÓN A “LA FÓRMULA DE TRAZA ESTABLE, VARIEDADES DE SHIMURA Y APLICACIONES ARITMÉTICAS” Archivado el 31 de julio de 2009 en Wayback Machine , pág. 1., Michael Harris
5. publicaciones.ias.edu
6. El lema fundamental para grupos unitarios Archivado el 12 de junio de 2010 en Wayback Machine , en la pág. 12., Gérard Laumon

Referencias

• Blasius, Don; Rogawski, Jonathan D. (1992), "Lemas fundamentales para U(3) y grupos relacionados", en Langlands, Robert P.; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Las funciones zeta de las superficies modulares de Picard , Montreal, QC: Univ. Montréal, págs. 363–394, ISBN 978-2-921120-08-1, Sr.  1155234
• Casselman, W. (2009), Lema fundamental de Langlands para SL(2) (PDF)
• Dat, Jean-François (noviembre de 2004), Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF) , Séminaire Bourbaki , no 940
• Hales, Thomas C. (1997), "El lema fundamental para Sp(4)", Actas de la American Mathematical Society , 125 (1): 301–308, doi : 10.1090/S0002-9939-97-03546-6 , ISSN  0002-9939, MR  1346977
• Harris, M. (ed.), Stabilization de la formule des traces, variétés de Shimura, et apps arithmétiques, archivado desde el original el 20 de abril de 2012 , consultado el 4 de enero de 2012.
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1988), "Variedades de punto fijo en variedades de banderas afines", Israel Journal of Mathematics , 62 (2): 129–168, doi : 10.1007/BF02787119 , ISSN  0021-2172, MR  0947819
• Kottwitz, Robert E. (1992), "Cálculo de algunas integrales orbitales", en Langlands, Robert P.; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Las funciones zeta de las superficies modulares de Picard , Montreal, QC: Univ. Montreal, págs. 349–362, ISBN 978-2-921120-08-1, Sr.  1155233
• Labesse, Jean-Pierre; Langlands, RP (1979), "Indistinguibilidad de L para SL(2)", Revista Canadiense de Matemáticas , 31 (4): 726–785, doi : 10.4153/CJM-1979-070-3 , ISSN  0008-414X, MR  0540902, S2CID  17447242
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Publicaciones matemáticas de la Universidad de París VII], vol. 13, París: Université de Paris VII UER de Mathématiques, MR  0697567
• Langlands, Robert P.; Shelstad, Diana (1987), "Sobre la definición de factores de transferencia", Mathematische Annalen , 278 (1): 219–271, doi :10.1007/BF01458070, ISSN  0025-5831, MR  0909227, S2CID  14141632
• Laumon, Gérard (2006), "Aspects géométriques du Lemme Fondamental de Langlands-Shelstad", Congreso Internacional de Matemáticos. vol. II, Eur. Matemáticas. Soc., Zürich, págs. 401–419, MR  2275603, archivado desde el original el 15 de marzo de 2012 , consultado el 9 de enero de 2012
• Laumon, Gerard; Ngô, Bao Châu (2008), "Le lemme fondamental pour les groupes unitaires", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 168 (2): 477–573, arXiv : math/0404454 , doi :10.4007/annals.2008.168.477, ISSN  0003-486X, SEÑOR  2434884, S2CID  119606388
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• Ngô, Bao Châu (2010), "Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 111 : 1–169, arXiv : 0801.0446 , doi : 10.1007/s10240-010-0026- 7 , ISSN  0073-8301, SEÑOR  2653248
• Shelstad, Diana (1982), "L-indistinguibilidad para grupos reales", Mathematische Annalen , 259 (3): 385–430, doi :10.1007/BF01456950, ISSN  0025-5831, MR  0661206, S2CID  121385109
• Waldspurger, Jean-Loup (1991), "Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental", Canadian Journal of Mathematics , 43 (4): 852–896, doi : 10.4153/CJM-1991-049-5 , ISSN  0008-414X, SEÑOR  1127034
• Waldspurger, Jean-Loup (2006), "Endoscopie et changement de caractéristique", Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu , 5 (3): 423–525, doi :10.1017/S1474748006000041, ISSN  1474-7480, MR  2241929, S2CID  122919302
• Waldspurger, Jean-Loup (2008), "L'endoscopie tordue n'est pas si tordue" [La endoscopia torcida no es tan torcida] (PDF) , Memorias de la American Mathematical Society (en francés), 194 (908), Providence, RI: American Mathematical Society : 261, doi :10.1090/memo/0908, ISBN 978-0-8218-4469-4, ISSN  0065-9266  , MR2418405
• Weissauer, Rainer (2009), Endoscopia para GSP(4) y la cohomología de los tripletes modulares de Siegel , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1968, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-89306-6, ISBN 978-3-540-89305-9, Sr.  2498783

Enlaces externos

• Conferencia de Gerard Laumon sobre el lema fundamental para grupos unitarios
• Basken, Paul (12 de septiembre de 2010). "Entender el lema fundamental de Langlands". The Chronicle of Higher Education .