Lema de Zassenhaus

Lema técnico en teoría de grupos.

Diagrama de Hasse del lema "mariposa" de Zassenhaus: los subgrupos más pequeños se encuentran en la parte superior del diagrama

En matemáticas , el lema mariposa o lema de Zassenhaus , llamado así en honor a Hans Zassenhaus , es un resultado técnico sobre la red de subgrupos de un grupo o la red de submódulos de un módulo , o más generalmente para cualquier red modular . ^[1]

Lema. Supongamos que es un grupo con subgrupos y . Supongamos que y son subgrupos normales . Entonces hay un isomorfismo de grupos cocientes : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\triangleleft A}$ ${\displaystyle D\triangleleft C}$

${\displaystyle {\frac {(A\cap C)B}{(A\cap D)B}}\cong {\frac {(A\cap C)D}{(B\cap C)D}}.}$

Esto se puede generalizar al caso de un grupo con operadores con subgrupos estables y , siendo la afirmación anterior el caso de actuar sobre sí mismo por conjugación . ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega =G}$

Zassenhaus demostró este lema específicamente para dar la prueba más directa del teorema de refinamiento de Schreier . La "mariposa" se hace evidente al intentar dibujar el diagrama de Hasse de los distintos grupos implicados.

El lema de Zassenhaus para grupos se puede derivar de un resultado más general conocido como teorema de Goursat expresado en una variedad de Goursat (del cual los grupos son un ejemplo); sin embargo , en la derivación también es necesario utilizar la ley modular específica del grupo . ^[2]

Referencias

1. Pierce, RS (1982). Álgebras asociativas . Saltador. pag. 27, ejercicio 1. ISBN 0-387-90693-2.
2. J. Lambek (1996). "La mariposa y la serpiente". En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y Álgebra . Prensa CRC. págs. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

Recursos

• Goodearl, KR; Warfield, Robert B. (1989), Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos, Cambridge University Press , págs. 51, 62, ISBN 978-0-521-36925-1.
• Lang, Serge (21 de junio de 2005), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas (3.ª ed. revisada), Springer-Verlag , págs. 20-21, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky (2009) Anillos, módulos y representaciones . pag. 6. Librería AMS, ISBN 0-8218-4370-2 
• Hans Zassenhaus (1934) "Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 10:106–8.
• Hans Zassenhaus (1958) Teoría de grupos , segunda edición en inglés, Lema sobre los cuatro elementos, p. 74, Chelsea Publishing .

Enlaces externos

• Lema de Zassenhaus y prueba en https://web.archive.org/web/20080604141650/http://www.artofproblemsolving.com:80/Wiki/index.php/Zassenhaus%27s_Lemma