Lema de Doob-Dynkin

Afirmación en teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad , el lema de Doob-Dynkin , llamado así por Joseph L. Doob y Eugene Dynkin (también conocido como lema de factorización ), caracteriza la situación en la que una variable aleatoria es función de otra mediante la inclusión de las álgebras generadas por las variables aleatorias. El enunciado habitual del lema se formula en términos de que una variable aleatoria es medible con respecto a la álgebra generada por la otra. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

El lema juega un papel importante en la expectativa condicional en la teoría de la probabilidad, donde permite reemplazar el condicionamiento sobre una variable aleatoria por el condicionamiento sobre el -álgebra que es generada por la variable aleatoria. ${\displaystyle \sigma }$

Notas y observaciones introductorias

En el lema siguiente, es el -álgebra de conjuntos de Borel en Si y es un espacio medible, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle T\colon X\to Y,}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle \sigma (T)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}}$

es el -álgebra más pequeña tal que es -medible. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {Y}}}$

Enunciado del lema

Sea una función y un espacio medible. Una función es -medible si y sólo si para algún -medible ^[1] ${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega '}$ ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle f=g\circ T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1].}$

Observación. La parte "si" simplemente establece que la composición de dos funciones mensurables es mensurable. La parte "solo si" se demuestra a continuación.

Observación. El lema sigue siendo válido si se reemplaza el espacio por donde es biyectivo con y la biyección es medible en ambas direcciones. ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}}(S)),}$ ${\displaystyle S\subseteq [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Por definición, la mensurabilidad de significa que para cada conjunto de Borel Por lo tanto , y el lema puede reformularse de la siguiente manera. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle S\subseteq [0,1].}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T),}$

Lema. Sea y un espacio medible. Entonces, para algún -medible si y solo si . ${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega ',}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1],}$ ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ ${\displaystyle f=g\circ T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1],}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$

Véase también

• Expectativa condicional

Referencias

1. Kallenberg, Olav (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Springer. pág. 7. ISBN. 0-387-94957-7.

• A. Bobrowski: Análisis funcional para procesos probabilísticos y estocásticos: una introducción , Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0 
• MM Rao, RJ Swift: Teoría de la probabilidad con aplicaciones , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7 doi :10.1007/0-387-27731-5