Lema de Brezis-Lieb

En el campo matemático del análisis , el lema de Brezis-Lieb es un resultado básico de la teoría de la medida . Recibe su nombre de Haïm Brézis y Elliott Lieb , quienes lo descubrieron en 1983. El lema puede considerarse como una mejora, en ciertos contextos, del lema de Fatou para convertirlo en una igualdad. Como tal, ha sido útil para el estudio de muchos problemas variacionales . ^[1]

El lema y su demostración

Enunciado del lema

Sea ( X , μ) un espacio de medida y sea f _n una secuencia de funciones complejas medibles en X que convergen casi en todas partes a una función f . La función límite f es automáticamente medible. El lema de Brezis-Lieb afirma que si p es un número positivo, entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}{\Big |}|f|^{p}-|f_{n}|^{p}+|f-f_{n}|^{p}{\Big |}\,d\mu =0,}$

siempre que la secuencia f _n esté uniformemente acotada en L ^p ( X , μ) . ^[2] Una consecuencia significativa, que agudiza el lema de Fatou aplicado a la secuencia | f _n | ^p , es que

${\displaystyle \int _{X}|f|^{p}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\left(\int _{X}|f_{n}|^{p}\,d\mu -\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\,d\mu \right),}$

que se sigue de la desigualdad triangular. Esta consecuencia se toma a menudo como el enunciado del lema, aunque no tiene una prueba más directa. ^[3]

Prueba

La esencia de la prueba está en las desigualdades.

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{n}\equiv {\Big |}|f_{n}|^{p}-|f|^{p}-|f-f_{n}|^{p}{\Big |}&\leq {\Big |}|f_{n}|^{p}-|f-f_{n}|^{p}{\Big |}+|f|^{p}\\&\leq \varepsilon |f-f_{n}|^{p}+C_{\varepsilon }|f|^{p}.\end{aligned}}}$

La consecuencia es que W _n − ε| f − f _n | ^p , que converge casi en todas partes a cero, está acotada por encima por una función integrable, independientemente de n . La observación de que

${\displaystyle W_{n}\leq \max {\Big (}0,W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}{\Big )}+\varepsilon |f-f_{n}|^{p},}$

y la aplicación del teorema de convergencia dominada al primer término del lado derecho muestra que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{X}W_{n}\,d\mu \leq \varepsilon \sup _{n}\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\,d\mu .}$

La finitud del supremo en el lado derecho, con la arbitrariedad de ε , muestra que el lado izquierdo debe ser cero.

Referencias

Notas al pie

1. Leones 1985.
2. Brézis y Lieb 1983, teorema 2; Bogachev 2007, Proposición 4.7.30; Lieb & Loss 2001, Teorema 1.9.
3. Brézis y Lieb 1983, Teorema 1; Evans 1990, Teorema 1.8; Willem 1996, Lema 1.32.

Fuentes

• VI Bogachev. Teoría de la medida. vol. I. Springer-Verlag, Berlín, 2007. xviii+500 págs. ISBN  978-3-540-34513-8
• Haïm Brézis y Elliott Lieb. Una relación entre la convergencia puntual de funciones y la convergencia de funcionales. Proc. Amer. Math. Soc. 88 (1983), núm. 3, 486–490. doi :10.1090/S0002-9939-1983-0699419-3
• Lawrence C. Evans. Métodos de convergencia débil para ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, 74. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. viii+80 pp. ISBN 0-8218-0724-2 
• PL Lions. El principio de concentración-compacidad en el cálculo de variaciones. El caso límite. I. Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), núm. 1, 145–201.
• Elliott H. Lieb y Michael Loss. Análisis. Segunda edición. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp. ISBN 0-8218-2783-9 
• Michel Willem. Teoremas de minimax. Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x+162 pp. ISBN 0-8176-3913-6