Ondícula de Gabor

Las wavelets de Gabor son wavelets inventadas por Dennis Gabor que utilizan funciones complejas construidas para servir como base para las transformadas de Fourier en aplicaciones de la teoría de la información . Son muy similares a las wavelets de Morlet . También están estrechamente relacionadas con los filtros de Gabor . La propiedad importante de la wavelet es que minimiza el producto de sus desviaciones estándar en el dominio del tiempo y la frecuencia (dadas por las varianzas definidas a continuación). Dicho de otra manera, se minimiza la incertidumbre en la información transportada por esta wavelet. Sin embargo, tienen la desventaja de no ser ortogonales, por lo que la descomposición eficiente en la base es difícil. Desde su inicio, han aparecido varias aplicaciones, desde el procesamiento de imágenes hasta el análisis de neuronas en el sistema visual humano. ^{[1] [2]}

Propiedad de incertidumbre mínima

La motivación para las wavelets de Gabor surge de encontrar una función que minimice su desviación estándar en los dominios del tiempo y la frecuencia. Más formalmente, la varianza en el dominio de la posición es: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

donde es el conjugado complejo de y es la media aritmética, definida como: ${\displaystyle f^{*}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

La varianza en el dominio del número de onda es:

${\displaystyle (\Delta k)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(k-k_{0})^{2}F(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

¿Dónde está la media aritmética de la transformada de Fourier de , : ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle k_{0}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }kF(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

Con esto definido, la incertidumbre se escribe como:

${\displaystyle (\Delta x)(\Delta k)}$

Se ha demostrado que esta cantidad tiene un límite inferior de . La perspectiva de la mecánica cuántica es interpretarla como la incertidumbre en la posición y como la incertidumbre en el momento. Una función que tiene el límite de incertidumbre teóricamente más bajo posible es la Wavelet de Gabor. ^[3] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle (\Delta x)}$ ${\displaystyle \hbar (\Delta k)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ecuación

La ecuación de una wavelet de Gabor 1-D es una gaussiana modulada por una exponencial compleja, descrita de la siguiente manera: ^[3]

${\displaystyle f(x)=e^{-(x-x_{0})^{2}/a^{2}}e^{-ik_{0}(x-x_{0})}}$

A diferencia de otras funciones comúnmente utilizadas como bases en las transformadas de Fourier, como y , las wavelets de Gabor tienen la propiedad de estar localizadas, lo que significa que a medida que aumenta la distancia desde el centro, el valor de la función se suprime exponencialmente. controla la velocidad de esta caída exponencial y controla la velocidad de modulación. ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k_{0}}$

También vale la pena destacar la transformada de Fourier (convención unitaria de frecuencia angular) de una ondícula de Gabor, que también es una ondícula de Gabor:

${\displaystyle F(k)=ae^{-(k-k_{0})^{2}a^{2}}e^{-ix_{0}(k-k_{0})}}$

A continuación se muestra un ejemplo de wavelet:

Una ondícula de Gabor con a  = 2, x ₀  = 0 y k ₀  = 1

Análogo causal temporal de la ondícula de Gabor

Al procesar señales temporales, no se puede acceder a los datos del futuro, lo que genera problemas si se intenta utilizar funciones de Gabor para procesar señales en tiempo real que dependen de la dimensión temporal. En ^[4] se ha desarrollado un análogo causal temporal del filtro de Gabor basado en la sustitución del núcleo gaussiano en la función de Gabor por un núcleo de suavizado causal temporal y recursivo en el tiempo denominado núcleo límite causal temporal. De esta manera, el análisis de tiempo-frecuencia basado en la extensión de valor complejo resultante del núcleo límite causal temporal permite capturar transformaciones esencialmente similares de una señal temporal a las que pueden manejar las ondículas de Gabor, y que corresponden al grupo de Heisenberg, mientras se lleva a cabo con operaciones estrictamente causales y recursivas en el tiempo; consulte ^[4] para obtener más detalles.

Véase también

• Transformación de Gabor
• Filtro Gabor
• Ondícula de Morlet

Referencias

1. Lee, Tai S. (octubre de 1996). "Representación de imágenes mediante wavelets de Gabor 2D" (PDF) . IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 18 (10): 959–971. doi :10.1109/34.541406.
2. Daugman, John. Serie de conferencias sobre visión artificial (PDF) . Universidad de Cambridge.
3. Daugman, John. Serie de conferencias sobre teoría de la información (PDF) . Universidad de Cambridge.
4. Lindeberg, T. (23 de enero de 2023). "Una representación de escala-espacio covariante, recursiva en el tiempo y causal en el tiempo, de señales temporales y tiempo pasado". Biological Cybernetics : 1–39. arXiv : 2202.09209 . doi : 10.1007/s00422-022-00953-6 .

Enlaces externos

• Código MATLAB para wavelets de Gabor 2D y extracción de características de Gabor