Teoría de la obstrucción perfecta

En geometría algebraica, dada una pila Deligne-Mumford X , una teoría de obstrucción perfecta para X consiste en:

1. un complejo perfecto de dos términos en la categoría derivada de haces étale cuasi-coherentes en X , y ${\displaystyle E=[E^{-1}\to E^{0}]}$ ${\displaystyle D({\text{Qcoh}}(X)_{et})}$
2. un morfismo , donde es el complejo cotangente de X , que induce un isomorfismo en y un epimorfismo en . ${\displaystyle \varphi \colon E\to {\textbf {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$ ${\displaystyle h^{0}}$ ${\displaystyle h^{-1}}$

La noción fue introducida por Kai Behrend y Barbara Fantechi  (1997) para una aplicación a la teoría de intersección en pilas de módulos; en particular, para definir una clase fundamental virtual .

Ejemplos

Esquemas

Consideremos una incrustación regular que encaja en un cuadrado cartesiano ${\displaystyle I\colon Y\to W}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {j}}&V\\g\downarrow &&\downarrow f\\Y&{\xrightarrow {i}}&W\end{matrix}}}$

donde son suaves. Entonces, el complejo ${\displaystyle V,W}$

${\displaystyle E^{\bullet }=[g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to j^{*}\Omega _{V}]}$(en grados ) ${\displaystyle -1,0}$

forma una teoría de obstrucción perfecta para X . ^[1] El mapa proviene de la composición

${\displaystyle g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to g^{*}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\to j^{*}\Omega _{V}}$

Esta es una teoría de obstrucción perfecta porque el complejo viene equipado con un mapa que proviene de los mapas y . Nótese que la clase fundamental virtual asociada es ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle g^{*}\mathbf {L} _{Y}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[V]}$

Ejemplo 1

Consideremos una variedad proyectiva suave . Si establecemos , entonces la teoría de obstrucción perfecta en es ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle D^{[-1,0]}(X)}$

${\displaystyle [N_{X/\mathbb {P} ^{n}}^{\vee }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}]}$

y la clase fundamental virtual asociada es

${\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[\mathbb {P} ^{n}]}$

En particular, si es una intersección completa local suave, entonces la teoría de obstrucción perfecta es el complejo cotangente (que es lo mismo que el complejo cotangente truncado). ${\displaystyle Y}$

Pilas de Deligne–Mumford

La construcción anterior también funciona con chimeneas Deligne-Mumford.

Teoría de la obstrucción simétrica

Por definición, una teoría de obstrucción simétrica es una teoría de obstrucción perfecta junto con una forma bilineal simétrica no degenerada.

Ejemplo: Sea f una función regular en una variedad (o pila) suave. Entonces el conjunto de puntos críticos de f conlleva una teoría de obstrucción simétrica de manera canónica.

Ejemplo: Sea M una variedad simpléctica compleja. Entonces, la intersección (esquemática) de las subvariedades lagrangianas de M conlleva una teoría de obstrucción simétrica canónica.

Notas

1. Behrend y Fantechi 1997, § 6

Referencias

• Behrend, Kai (2005). "Invariantes de Donaldson–Thomas mediante geometría microlocal". arXiv : math/0507523v2 .
• Behrend, Kai ; Fantechi, Bárbara (1 de marzo de 1997). "El cono normal intrínseco". Invenciones Mathematicae . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . Código Bib : 1997 InMat.128...45B. doi :10.1007/s002220050136. ISSN  0020-9910. S2CID  18533009.
• Oesinghaus, Jakob (2015-07-20). "Entender el cono de obstrucción de una teoría de obstrucción simétrica". MathOverflow . Consultado el 19 de julio de 2017 .

Véase también

• Función de Behrend
• Invariante de Gromov-Witten