Teoría de calibres reticulares

Theory of quantum gauge fields on a lattice

En física , la teoría de calibración en red es el estudio de las teorías de calibración en un espacio-tiempo que ha sido discretizado en una red .

Las teorías de calibre son importantes en la física de partículas e incluyen las teorías predominantes de partículas elementales : electrodinámica cuántica , cromodinámica cuántica (QCD) y el Modelo Estándar de la física de partículas . Los cálculos de la teoría de calibre no perturbativa en el espacio-tiempo continuo implican formalmente la evaluación de una integral de trayectoria de dimensión infinita , que es computacionalmente intratable. Al trabajar en un espacio-tiempo discreto , la integral de trayectoria se vuelve de dimensión finita y se puede evaluar mediante técnicas de simulación estocástica como el método de Monte Carlo . Cuando el tamaño de la red se toma infinitamente grande y sus sitios infinitesimalmente cercanos entre sí, se recupera la teoría de calibre continuo. ^[1]

Lo esencial

En la teoría de calibración de red, el espacio-tiempo se rota en el espacio euclidiano y se discretiza en una red con sitios separados por la distancia y conectados por enlaces. En los casos más comúnmente considerados, como la QCD de red , los campos fermiónicos se definen en los sitios de la red (lo que conduce a la duplicación de fermiones ), mientras que los campos de calibración se definen en los enlaces. Es decir, se asigna un elemento U del grupo de Lie compacto G (no álgebra ) a cada enlace. Por lo tanto, para simular la QCD con el grupo de Lie SU(3) , se define una matriz unitaria de 3×3 en cada enlace. Al enlace se le asigna una orientación, y el elemento inverso corresponde al mismo enlace con la orientación opuesta. Y a cada nodo se le da un valor en (un 3-vector de color, el espacio en el que actúa la representación fundamental de SU(3)), un bispinor (4-espinor de Dirac), un vector n _f y una variable de Grassmann . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

De este modo, la composición de los elementos SU(3) de los enlaces a lo largo de una ruta (es decir, la multiplicación ordenada de sus matrices) se aproxima a una exponencial ordenada por ruta (integral geométrica), a partir de la cual se pueden calcular los valores del bucle de Wilson para rutas cerradas.

Acción de Yang-Mills

La acción de Yang-Mills se escribe en la red utilizando bucles de Wilson (nombrados en honor a Kenneth G. Wilson ), de modo que el límite reproduce formalmente la acción continua original. ^[1] Dada una representación irreducible fiel ρ de G , la acción de Yang-Mills en la red, conocida como la acción de Wilson , es la suma sobre todos los sitios de la red del (componente real de la) traza sobre los n enlaces e ₁ , ..., e _n en el bucle de Wilson, ${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Aquí, χ es el carácter . Si ρ es una representación real (o pseudorreal ), tomar el componente real es redundante, porque incluso si se invierte la orientación de un bucle de Wilson, su contribución a la acción permanece inalterada.

Existen muchas acciones de Wilson posibles, según los bucles de Wilson que se utilicen en la acción. La acción de Wilson más simple utiliza solo el bucle de Wilson 1×1 y se diferencia de la acción continua por los "artefactos de red" proporcionales al pequeño espaciado de red . Al utilizar bucles de Wilson más complicados para construir "acciones mejoradas", los artefactos de red se pueden reducir para que sean proporcionales a , lo que hace que los cálculos sean más precisos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2}}$

Mediciones y cálculos

Este resultado de un cálculo de QCD en red muestra un mesón , compuesto por un quark y un antiquark. (Según M. Cardoso et al. ^[2] )

Las cantidades como las masas de partículas se calculan estocásticamente utilizando técnicas como el método de Monte Carlo . Las configuraciones de campo de calibración se generan con probabilidades proporcionales a , donde es la acción reticular y está relacionada con el espaciado reticular . La cantidad de interés se calcula para cada configuración y se promedia. Los cálculos a menudo se repiten en diferentes espaciamientos reticulares para que el resultado pueda extrapolarse al continuo, . ${\displaystyle e^{-\beta S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to 0}$

Estos cálculos suelen requerir un gran esfuerzo computacional y pueden requerir el uso de las supercomputadoras más grandes disponibles . Para reducir la carga computacional, se puede utilizar la denominada aproximación apagada , en la que los campos fermiónicos se tratan como variables "congeladas" no dinámicas. Si bien esto era común en los primeros cálculos de QCD en red, los fermiones "dinámicos" son ahora el estándar. ^[3] Estas simulaciones suelen utilizar algoritmos basados ​​en dinámica molecular o algoritmos de conjunto microcanónico . ^{[4] [5]}

Los resultados de los cálculos de QCD en red muestran, por ejemplo, que en un mesón no sólo son importantes las partículas (quarks y antiquarks), sino también los " tubos de flujo " de los campos de gluones. ^{[ cita requerida ]}

Trivialidad cuántica

La teoría de calibres reticulares también es importante para el estudio de la trivialidad cuántica por parte del grupo de renormalización del espacio real . ^[6] La información más importante en el flujo RG son los llamados puntos fijos .

Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, están dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría es trivial o no interactuante. En el estudio de las teorías de Higgs en red aparecen numerosos puntos fijos, pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campos asociadas a ellas sigue siendo una cuestión abierta. ^[7]

La trivialidad aún no se ha demostrado rigurosamente, pero los cálculos en red han proporcionado evidencia sólida de esto ^{[ cita requerida ]} . Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs . Los cálculos en red han sido útiles en este contexto. ^[8]

Otras aplicaciones

Originalmente, las teorías de calibración de red bidimensionales resolubles ya habían sido introducidas en 1971 como modelos con propiedades estadísticas interesantes por el teórico Franz Wegner , quien trabajó en el campo de las transiciones de fase . ^[9]

Cuando solo aparecen bucles Wilson 1×1 en la acción, se puede demostrar que la teoría del calibre reticular es exactamente dual para los modelos de espuma de espín . ^[10]

Véase también

• Teoría de calibre reticular hamiltoniana
• Teoría de campos en red
• QCD en celosía
• Trivialidad cuántica
• Acción de Wilson

Referencias

1. Wilson, K. (1974). "Confinamiento de quarks". Physical Review D . 10 (8): 2445. Bibcode :1974PhRvD..10.2445W. doi :10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Cardoso, M.; Cardoso, N.; Bicudo, P. (3 de febrero de 2010). "Cálculo de QCD en red de los campos de color para el sistema híbrido estático quark-gluón-antiquark y estudio microscópico del escalamiento de Casimir". Physical Review D . 81 (3): 034504. arXiv : 0912.3181 . Bibcode :2010PhRvD..81c4504C. doi :10.1103/physrevd.81.034504. ISSN  1550-7998. S2CID  119216789.
3. A. Bazavov; et al. (2010). "Simulaciones QCD no perturbativas con 2+1 sabores de quarks escalonados mejorados". Reseñas de Física Moderna . 82 (2): 1349–1417. arXiv : 0903.3598 . Bibcode :2010RvMP...82.1349B. doi :10.1103/RevModPhys.82.1349. S2CID  119259340.
4. David JE Callaway y Aneesur Rahman (1982). "Formulación de conjunto microcanónico de la teoría de calibración reticular". Physical Review Letters . 49 (9): 613–616. Código Bibliográfico :1982PhRvL..49..613C. doi :10.1103/PhysRevLett.49.613.
5. David JE Callaway y Aneesur Rahman (1983). "Teoría de calibración reticular en el conjunto microcanónico" (PDF) . Physical Review . D28 (6): 1506–1514. Bibcode :1983PhRvD..28.1506C. doi :10.1103/PhysRevD.28.1506.
6. Wilson, Kenneth G. (1975-10-01). "El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo". Reseñas de Física Moderna . 47 (4). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 773–840. Código Bibliográfico :1975RvMP...47..773W. doi :10.1103/revmodphys.47.773. ISSN  0034-6861.
7. DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidades: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode :1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
8. Por ejemplo, Callaway, DJE; Petronzio, R. (1987). "¿Es predecible la masa del Higgs del modelo estándar?". Física nuclear B. 292 : 497–526. Código Bibliográfico : 1987NuPhB.292..497C. doi : 10.1016/0550-3213(87)90657-2.Heller, Urs; Markus Klomfass; Herbert Neuberger; Pavols Vranas (20 de septiembre de 1993). "Análisis numérico del límite de trivialidad de la masa del Higgs". Física nuclear B . 405 (2–3): 555–573. arXiv : hep-ph/9303215 . Código Bibliográfico :1993NuPhB.405..555H. doi :10.1016/0550-3213(93)90559-8. S2CID  7146602., lo que sugiere M _H < 710 GeV .
9. F. Wegner, "Dualidad en modelos de Ising generalizados y transiciones de fase sin parámetro de orden local", J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Reimpreso en Claudio Rebbi (ed.), Teorías de calibres reticulares y simulaciones de Montecarlo , World Scientific, Singapur (1983), págs. 60-73. Resumen
10. R. Oeckl; H. Pfeiffer (2001). "El dual de la teoría de calibración reticular no abeliana pura como modelo de espuma de espín". Física nuclear B . 598 (1–2): 400–426. arXiv : hep-th/0008095 . Código Bibliográfico :2001NuPhB.598..400O. doi :10.1016/S0550-3213(00)00770-7. S2CID  3606117.

Lectura adicional

• Creutz, M., Quarks, gluones y redes , Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357 
• Montvay, I., Münster, G., Campos cuánticos en una red , Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177 
• Makeenko, Y., Métodos de la teoría de calibre contemporánea , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 . 
• Smit, J. , Introducción a los campos cuánticos en una red , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519 
• Rothe, H., Teorías de calibres reticulares: una introducción , World Scientific, Singapur, (2005). ISBN 978-9814365857 
• DeGrand, T., DeTar, C., Métodos de red para la cromodinámica cuántica , World Scientific, Singapur, (2006). ISBN 978-9812567277 
• Gattringer, C., Lang, CB, Cromodinámica cuántica en la red , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497 
• Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Cromodinámica cuántica en red: Fundamentos prácticos , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970 
• Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Teorías de calibración reticular". Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode :2012SchpJ...7.8615W. doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

Enlaces externos

• La biblioteca FermiQCD para la teoría de campos reticulares
• Bibliotecas de software de cromodinámica cuántica de US Lattice