Onda acústica iónica

En física de plasmas , una onda acústica iónica es un tipo de oscilación longitudinal de los iones y electrones en un plasma , muy similar a las ondas acústicas que viajan en un gas neutro. Sin embargo, debido a que las ondas se propagan a través de iones con carga positiva, las ondas acústicas iónicas pueden interactuar con sus campos electromagnéticos , así como con colisiones simples. En los plasmas, las ondas acústicas iónicas se denominan con frecuencia ondas acústicas o incluso simplemente ondas sonoras. Comúnmente gobiernan la evolución de la densidad de masa, por ejemplo debido a gradientes de presión , en escalas de tiempo más largas que la frecuencia correspondiente a la escala de longitud relevante. Las ondas acústicas iónicas pueden ocurrir en un plasma no magnetizado o en un plasma magnetizado paralelo al campo magnético . Para un plasma de una sola especie iónica y en el límite de longitud de onda larga , las ondas no tienen dispersión ( ) con una velocidad dada por (ver la derivación a continuación) ${\displaystyle \omega =v_{s}k}$

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {\gamma _{e}Zk_{\text{B}}T_{e}+\gamma _{i}k_{\text{B}}T_{i}}{M}}}}$

donde es la constante de Boltzmann , es la masa del ion, es su carga, es la temperatura de los electrones y es la temperatura de los iones. Normalmente, γ _e se toma como la unidad, sobre la base de que la conductividad térmica de los electrones es lo suficientemente grande como para mantenerlos isotérmicos en la escala de tiempo de las ondas acústicas de iones, y γ _i se toma como 3, correspondiente al movimiento unidimensional. En plasmas sin colisiones , los electrones a menudo están mucho más calientes que los iones, en cuyo caso se puede ignorar el segundo término en el numerador. ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T_{e}}$ ${\displaystyle T_{i}}$

Derivación

Derivamos la relación de dispersión de ondas acústicas de iones para una descripción de fluido linealizada de un plasma con electrones y especies iónicas. Escribimos cada cantidad como donde el subíndice 0 denota el valor de equilibrio constante de "orden cero" y 1 denota la perturbación de primer orden. es un parámetro de ordenación para la linealización y tiene el valor físico 1. Para linealizar, balanceamos todos los términos en cada ecuación del mismo orden en . Los términos que involucran solo cantidades de subíndice 0 son todos de orden y deben equilibrarse, y los términos con una cantidad de subíndice 1 son todos de orden y están en equilibrio. Tratamos el campo eléctrico como de orden 1 ( ) y descuidamos los campos magnéticos. ${\textstyle N}$ ${\displaystyle X=X_{0}+\delta \cdot X_{1}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta ^{0}}$ ${\displaystyle \delta ^{1}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{0}=0}$

Cada especie se describe mediante masa , carga , densidad numérica , velocidad de flujo y presión . Suponemos que las perturbaciones de presión para cada especie son un proceso politrópico , es decir, para la especie . Para justificar esta suposición y determinar el valor de , se debe utilizar un tratamiento cinético que resuelva las funciones de distribución de especies en el espacio de velocidad. La suposición politrópica reemplaza esencialmente la ecuación de energía. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle q_{s}=Z_{s}e}$ ${\displaystyle n_{s}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}_{s}}$ ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle p_{s1}=\gamma _{s}T_{s0}n_{s1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma _{s}}$

Cada especie satisface la ecuación de continuidad y la ecuación de momento. $${\displaystyle \partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0}$$

${\displaystyle \partial _{t}{\vec {u}}_{s}+{\vec {u}}_{s}\cdot \nabla {\vec {u}}_{s}={Z_{s}e \over m_{s}}{\vec {E}}-{\nabla p_{s} \over n_{s}}}$.

Ahora linealizamos y trabajamos con ecuaciones de orden 1. Dado que no trabajamos con debido a la suposición politrópica (pero no suponemos que sea cero), para aliviar la notación usamos para . Usando la ecuación de continuidad iónica, la ecuación de momento iónico se convierte en ${\displaystyle T_{s1}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{s0}}$

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}}$

Relacionamos el campo eléctrico con la densidad electrónica mediante la ecuación del momento electrónico: ${\displaystyle {\vec {E}}_{1}}$

${\displaystyle n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}}$

Ahora ignoramos el lado izquierdo, que se debe a la inercia electrónica. Esto es válido para ondas con frecuencias mucho menores que la frecuencia del plasma electrónico . Esta es una buena aproximación para , como la materia ionizada, pero no para situaciones como plasmas de electrones y huecos en semiconductores o plasmas de electrones y positrones. El campo eléctrico resultante es ${\displaystyle (n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$ ${\displaystyle m_{i}\gg m_{e}}$

${\displaystyle {\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}}$

Como ya hemos resuelto el campo eléctrico, no podemos hallarlo también a partir de la ecuación de Poisson. La ecuación del momento iónico se relaciona ahora para cada especie con : ${\displaystyle n_{i1}}$ ${\displaystyle n_{e1}}$

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}}$

Llegamos a una relación de dispersión mediante la ecuación de Poisson:

${\displaystyle {\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{e0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]}$

El primer término entre corchetes a la derecha es cero por suposición (equilibrio de carga neutral). Sustituimos el campo eléctrico y reorganizamos para encontrar

${\displaystyle (1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}}$.

${\displaystyle \lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})}$define la longitud de Debye del electrón. El segundo término de la izquierda surge del término y refleja el grado en el que la perturbación no es neutral en cuanto a la carga. Si es pequeño, podemos omitir este término. Esta aproximación a veces se denomina aproximación de plasma. ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}}$ ${\displaystyle k\lambda _{De}}$

Ahora trabajamos en el espacio de Fourier y escribimos cada campo de orden 1 como Eliminamos la tilde ya que todas las ecuaciones ahora se aplican a las amplitudes de Fourier y encontramos ${\displaystyle X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+c.c.}$

${\displaystyle n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}}$

${\displaystyle v_{s}=\omega /k}$es la velocidad de fase de la onda. Sustituyendo esto en la ecuación de Poisson obtenemos una expresión donde cada término es proporcional a . Para encontrar la relación de dispersión para los modos naturales, buscamos soluciones para valores distintos de cero y encontramos: ${\displaystyle n_{e1}}$ ${\displaystyle n_{e1}}$

${\displaystyle n_{i1}=f_{i}n_{I1}}$donde , por lo que las fracciones iónicas satisfacen , y es el promedio de las especies iónicas. Una versión sin unidades de esta ecuación es ${\displaystyle n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}f_{i}=1}$ ${\displaystyle \langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i}}$

${\displaystyle {\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle }\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}}$

con , es la unidad de masa atómica, , y ${\displaystyle A_{i}=m_{i}/m_{u}}$ ${\displaystyle m_{u}}$ ${\displaystyle u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e}}$

${\displaystyle \tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}}$

Si es pequeño (la aproximación del plasma), podemos descuidar el segundo término en el lado derecho y la onda no tiene dispersión independientemente de k. ${\displaystyle k\lambda _{De}}$ ${\displaystyle \omega =v_{s}k}$ ${\displaystyle v_{s}}$

Relación de dispersión

La relación de dispersión general dada anteriormente para las ondas acústicas iónicas se puede expresar en forma de un polinomio de orden N (para N especies iónicas) en . Todas las raíces deberían ser reales-positivas, ya que hemos descuidado la amortiguación. Los dos signos de corresponden a ondas que se mueven hacia la derecha y hacia la izquierda. Para una sola especie iónica, ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v_{s}^{2}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over m_{i}}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}\left[{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over Z_{i}\gamma _{e}T_{e}}\right]}$

Ahora consideramos múltiples especies de iones, para el caso común . Para , la relación de dispersión tiene N-1 raíces degeneradas y una raíz distinta de cero ${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$ ${\displaystyle T_{i}=0}$ ${\displaystyle u^{2}=0}$

${\displaystyle v_{s}^{2}(T_{i}=0)\equiv {\gamma _{e}T_{e}/m_{u} \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}{\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle \over \langle Z_{i}\rangle }}$

Esta raíz distinta de cero se denomina "modo rápido", ya que normalmente es mayor que todas las velocidades térmicas de los iones. La solución aproximada del modo rápido para es ${\displaystyle v_{s}}$ ${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$

${\displaystyle v_{s}^{2}\approx v_{s}^{2}(T_{i}=0)+{\langle Z_{i}^{2}\gamma _{i}T_{i}/A_{i}^{2}\rangle \over m_{u}\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle }}$

Las raíces N-1 que son cero se denominan "modos lentos", ya que pueden ser comparables o menores que la velocidad térmica de una o más de las especies de iones. ${\displaystyle T_{i}=0}$ ${\displaystyle v_{s}}$

Un caso de interés para la fusión nuclear es una mezcla equimolar de iones de deuterio y tritio ( ). Especialicémonos en ionización completa ( ), temperaturas iguales ( ), exponentes politrópicos y despreciemos la contribución. La relación de dispersión se convierte en una cuadrática en , es decir: ${\displaystyle f_{D}=f_{T}=1/2}$ ${\displaystyle Z_{D}=Z_{T}=1}$ ${\displaystyle T_{e}=T_{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{e}=1,\gamma _{i}=3}$ ${\displaystyle (k\lambda _{De})^{2}}$ ${\displaystyle v_{s}^{2}}$

${\displaystyle 2A_{D}A_{T}u^{4}-7(A_{D}+A_{T})u^{2}+24=0}$

Usando encontramos que las dos raíces son . ${\displaystyle (A_{D},A_{T})=(2.01,3.02)}$ ${\displaystyle u^{2}=(1.10,1.81)}$

Otro caso de interés es uno con dos especies de iones de masas muy diferentes. Un ejemplo es una mezcla de oro (A=197) y boro (A=10,8), que actualmente es de interés en hohlraums para la investigación de fusión inercial impulsada por láser. Para un ejemplo concreto, considere y para ambas especies de iones y estados de carga Z=5 para boro y Z=50 para oro. Dejamos la fracción atómica de boro sin especificar (nota ). Por lo tanto, y . ${\displaystyle \gamma _{e}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{i}=3,T_{i}=T_{e}/2}$ ${\displaystyle f_{B}}$ ${\displaystyle f_{Au}=1-f_{B}}$ ${\displaystyle {\bar {Z}}=50-45f_{B},\tau _{B}=0.139,\tau _{Au}=0.00761,F_{B}=2.31f_{B}/{\bar {Z}},}$ ${\displaystyle F_{Au}=12.69(1-f_{B})/{\bar {Z}}}$

Mojadura

Las ondas acústicas iónicas se amortiguan tanto por colisiones de Coulomb como por amortiguamiento de Landau sin colisiones . El amortiguamiento de Landau se produce tanto en electrones como en iones, y su importancia relativa depende de los parámetros.

Véase también

• Ondas en plasmas
• Sonido
• Ola de Alfvén
• Onda magnetosónica

Enlaces externos

• Varias patentes y artículos relacionados con la fusión, IEC, ICC y física del plasma.