Mesa de lavamanos

Concepto matemático

En matemáticas , las tablas de Laver (denominadas así por Richard Laver , quien las descubrió hacia fines de la década de 1980 en relación con sus trabajos sobre teoría de conjuntos ) son tablas de números que tienen ciertas propiedades de interés algebraico y combinatorio . Se utilizan en el estudio de racks y quandles .

Definición

Para cualquier entero no negativo n , la n -ésima tabla de Laver es la tabla 2 ⁿ × 2 ⁿ cuya entrada en la celda de la fila p y columna q (1 ≤ p , q ≤ 2 ⁿ ) se define como ^[1]

${\displaystyle L_{n}(p,q):=p\star _{n}q}$

donde es la única operación binaria que satisface las dos ecuaciones siguientes para todos los p , q en {1,...,2 ⁿ }: ${\displaystyle \star _{n}}$

y

Nota: La ecuación ( 1 ) utiliza la notación para significar el miembro único de {1,...,2 ⁿ } congruente con x módulo 2 ⁿ . ${\displaystyle x{\bmod {2}}^{n}}$

La ecuación ( 2 ) se conoce como la ley autodistributiva (izquierda) , y un conjunto dotado de cualquier operación binaria que satisfaga esta ley se denomina estante. Por lo tanto, la n -ésima tabla de Laver es simplemente la tabla de multiplicación para el único estante ({1,...,2 ⁿ }, ) que satisface la ecuación ( 1 ). ${\displaystyle \star _{n}}$

Ejemplos : A continuación se presentan las primeras cinco tablas de Laver, ^[2] es decir, las tablas de multiplicación para los estantes ({1,...,2 ⁿ }, ), n = 0, 1, 2, 3, 4: ${\displaystyle \star _{n}}$

No se conoce ninguna expresión de forma cerrada para calcular las entradas de una tabla de Laver directamente, ^[3] pero Patrick Dehornoy proporciona un algoritmo simple para completar las tablas de Laver. ^[4]

Propiedades

1. Para todo p , q en {1,...,2 ⁿ }: . ${\displaystyle \ \ 2^{n}\star _{n}q=q;\ \ p\star _{n}2^{n}=2^{n};\ \ (2^{n}-1)\star _{n}q=2^{n};\ \ p\star _{n}2^{n-1}=2^{n}{\text{ if }}p\neq 2^{n}}$
2. Para todo p en {1,...,2 ⁿ }: es periódico con período π _n (p) igual a una potencia de dos. ${\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...}}$
3. Para todo p en {1,...,2 ⁿ }: es estrictamente creciente de a . ${\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...,\pi _{n}(p)}}$ ${\displaystyle p\star _{n}1=p+1\ }$ ${\displaystyle \ p\star _{n}\pi _{n}(p)=2^{n}}$
4. Para todo p , q : ^[1] ${\displaystyle \ p\star _{n}q=(p+1)^{(q)},{\text{ where }}x^{(1)}=x,\ x^{(k+1)}=x^{(k)}\star _{n}x.}$

¿Los períodos de la primera fila son ilimitados?

Mirando sólo la primera fila en la n -ésima tabla de Laver, para n = 0, 1, 2, ..., se ve que las entradas en cada primera fila son periódicas con un período que siempre es una potencia de dos, como se menciona en la Propiedad 2 anterior. Los primeros períodos son 1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, ... (secuencia A098820 en la OEIS ). Esta secuencia no es decreciente, y en 1995 Richard Laver demostró, bajo el supuesto de que existe un rango dentro de rango (una propiedad cardinal grande ) , que en realidad aumenta sin límite. (No se sabe si esto también es demostrable en ZFC sin el axioma adicional del cardinal grande). ^[5] En cualquier caso, crece extremadamente lento; Randall Dougherty demostró que 32 no puede aparecer en esta secuencia (si alguna vez lo hace) hasta que n > A(9, A(8, A(8, 254))), donde A denota la función de Ackermann-Péter . ^[6]

Referencias

1. Biane, Philippe (2019). "Tablas de Laver y combinatoria". arXiv : 1810.00548 [math.CO].
2. Dehornoy, Patrick (2014). "Dos y tres ciclos para tablas de Laver". arXiv : 1401.2335 [math.KT].
3. Lebed, Victoria (2014), "Tablas de Laver: de la teoría de conjuntos a la teoría de trenzas", Simposio anual de topología, Universidad de Tohoku, Japón (PDF). Véase diapositiva 8/33.
4. Dehornoy, Patrick. Laver Tables (a partir de la diapositiva 26). Consultado el 11 de diciembre de 2018.
5. Laver, Richard (1995), "Sobre el álgebra de incrustaciones elementales de un rango en sí mismo", Advances in Mathematics , 110 (2): 334–346, doi : 10.1006/aima.1995.1014 , hdl : 10338.dmlcz/127328 , MR  1317621.
6. Dougherty, Randall (1993), "Puntos críticos en un álgebra de incrustaciones elementales", Anales de lógica pura y aplicada , 65 (3): 211–241, arXiv : math.LO/9205202 , doi :10.1016/0168-0072(93)90012-3, MR  1263319, S2CID  13242324.

Lectura adicional

• Dehornoy, Patrick (2001), "Das Unendliche als Quelle der Erkenntnis", Spektrum der Wissenschaft Spezial (1): 86–90.
• Dehornoy, Patrick (2004), "Diagramas, coloraciones y aplicaciones" (PDF) , Actas de la Escuela de Nudos de Asia Oriental, enlaces y temas relacionados , pp. 37–64.
• Estanterías y el infinito: https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/05/06/estanterias-y-el-infinito/