Medida Sinaí-Ruelle-Bowen

Medida invariante que muestra una forma menos restringida de ergodicidad

En la disciplina matemática de la teoría ergódica , una medida Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) es una medida invariante que se comporta de manera similar, pero no es una medida ergódica . Para ser ergódico, el promedio temporal tendría que ser igual al promedio espacial para casi todos los estados iniciales , siendo el espacio de fase . ^[1] Para una medida SRB , basta con que la condición de ergodicidad sea válida para los estados iniciales en un conjunto de medidas de Lebesgue positivas . ^[2] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B(\mu )}$

Las ideas iniciales relativas a las medidas SRB fueron introducidas por Yakov Sinai , David Ruelle y Rufus Bowen en el área menos general de los difeomorfismos de Anosov y los atractores del axioma A. ^{[3] [4] [5]}

Definición

Sea un mapa . Entonces una medida definida en es una medida SRB si existe una medida de Lebesgue positiva, y con la misma medida de Lebesgue, tal que: ^{[2] [6]} ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle V\subset U}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}\varphi (T^{i}x)=\int _{U}\varphi \,d\mu }$

para todas y cada una de las funciones continuas . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Se puede ver la medida SRB como una que satisface las conclusiones del teorema ergódico de Birkhoff en un conjunto más pequeño contenido en . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Existencia de medidas JUR

El siguiente teorema establece condiciones suficientes para la existencia de medidas JUR. Se considera el caso de los atractores del Axioma A, que es más simple, pero que se ha extendido en ocasiones a escenarios más generales. ^[7]

Teorema 1: ^[7] Sea un difeomorfismo con un atractor del Axioma A. Supongamos que este atractor es irreducible , es decir, no es la unión de otros dos conjuntos que también son invariantes bajo . Entonces hay una medida boreliana única , con , ^[a] caracterizada por las siguientes declaraciones equivalentes: ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

1. ${\displaystyle \mu }$es una medida de la JUR;
2. ${\displaystyle \mu }$tiene medidas absolutamente continuas condicionadas a la variedad inestable y sus subvariedades;
3. ${\displaystyle h(T)=\int \log {{\bigl |}\det(DT)|_{E^{u}}{\bigr |}}\,d\mu }$, donde está la entropía de Kolmogorov-Sinai , es la variedad inestable y es el operador diferencial . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle D}$

Además, en estas condiciones es un sistema dinámico que preserva la medida . ${\displaystyle \left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)}$

También se ha demostrado que lo anterior equivale a afirmar que es igual a la distribución estacionaria límite de ruido cero de una cadena de Markov con estados . ^[8] Es decir, considere que a cada punto se le asocia una probabilidad de transición con un nivel de ruido que mide la cantidad de incertidumbre del siguiente estado, de forma tal que: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T^{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),}$

¿Dónde está la medida de Dirac ? El límite de ruido cero es la distribución estacionaria de esta cadena de Markov cuando el nivel de ruido se acerca a cero. La importancia de esto es que establece matemáticamente que la medida SRB es una "buena" aproximación a casos prácticos donde existen pequeñas cantidades de ruido, ^[8] aunque no se puede decir nada sobre la cantidad de ruido que es tolerable. ${\displaystyle \delta }$

Ver también

• Medida cuasi invariante
• Teorema de Krylov-Bogolyubov
• medida de gibbs

Notas

1. Si no se integra a uno, habrá infinitas medidas de este tipo, siendo cada una igual a la otra excepto por una constante multiplicativa.

Referencias

1. Walters, Peter (2000). Una introducción a la teoría ergódica . Saltador.
2. Bonatti, C.; Viana, M. (2000). "Medidas SRB para sistemas parcialmente hiperbólicos cuya dirección central se contrae principalmente". Revista Israelí de Matemáticas . 115 (1): 157-193. doi : 10.1007/BF02810585 . S2CID  10139213.
3. Bowen, Robert Edward (1975). "Teoría ergódica de los difeomorfismos del axioma A". Estados de equilibrio y la teoría ergódica de los difeomorfismos de Anosov . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 470. Saltador. págs. 63–76. doi : 10.1007/978-3-540-77695-6_4 .
4. Ruelle, David (1976). "Una medida asociada a los atractores del axioma A". Revista Estadounidense de Matemáticas . 98 (3): 619–654. doi :10.2307/2373810. JSTOR  2373810.
5. Sinaí, Yakov G. (1972). "Medidas de Gibbs en teoría ergódica". Encuestas matemáticas rusas . 27 (4): 21–69. doi :10.1070/RM1972v027n04ABEH001383.
6. Metzger, RJ (2000). "Medidas del Sinaí-Ruelle-Bowen para la contratación de mapas y flujos de Lorenz". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 17 (2): 247–276. Código Bib : 2000AIHPC..17..247M. doi : 10.1016/S0294-1449(00)00111-6 .
7. Young, LS (2002). "¿Qué son las medidas SRB y qué sistemas dinámicos las tienen?". Revista de Física Estadística . 108 (5–6): 733–754. doi :10.1023/A:1019762724717. S2CID  14403405.
8. Cowieson, W.; Joven, LS (2005). "Medidas SRB como límites de ruido cero". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 25 (4): 1115-1138. doi :10.1017/S0143385704000604. S2CID  15640353.