Medición débil

Medición de un sistema cuántico que lo perturba mínimamente

En mecánica cuántica (y computación e información ), la medición débil es un tipo de medición cuántica que da como resultado que un observador obtenga muy poca información sobre el sistema en promedio, pero también altera muy poco el estado. ^[1] Según el teorema de Busch ^[2], cualquier sistema cuántico es necesariamente perturbado por la medición, pero la cantidad de perturbación se describe mediante un parámetro llamado intensidad de la medición.

La medición débil es un subconjunto de la forma más general de medición cuántica descrita por operadores conocidos como POVM , donde la fuerza de la medición es baja. En la literatura, las mediciones débiles también se conocen como mediciones poco nítidas, ^[3] difusas, ^{[3] [4]} opacas, ruidosas, ^[5] aproximadas y suaves ^[6] . Además, las mediciones débiles a menudo se confunden con el concepto distinto pero relacionado del valor débil . ^[7]

Los métodos más comunes de medición débil son acoplar el sistema cuántico a un qubit ancillario y medir proyectivamente el ancillario (lo que da como resultado una medición débil en el sistema cuántico de interés), medir una pequeña parte de grandes sistemas entrelazados y, para la física atómica, la obtención de imágenes de contraste de fase.

Historia

Las mediciones débiles se pensaron por primera vez en el contexto de mediciones continuas débiles de sistemas cuánticos ^[8] (es decir, filtrado cuántico y trayectorias cuánticas ). La física de las mediciones cuánticas continuas es la siguiente. Considere usar un ancilla, por ejemplo, un campo o una corriente , para sondear un sistema cuántico. La interacción entre el sistema y la sonda correlaciona los dos sistemas. Típicamente, la interacción solo correlaciona débilmente el sistema y el ancilla (específicamente, el operador unitario de interacción solo necesita expandirse a primer o segundo orden en la teoría de perturbaciones). Al medir el ancilla y luego usar la teoría de medición cuántica, se puede determinar el estado del sistema condicionado a los resultados de la medición. Para obtener una medición fuerte, se deben acoplar muchos ancilla y luego medir. En el límite donde hay un continuo de ancilla, el proceso de medición se vuelve continuo en el tiempo. Este proceso fue descrito por primera vez por: Michael B. Mensky; ^{[9] [10]} Viacheslav Belavkin ; ^{[11] [12]} Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; ^[13] Barchielli; ^[14] Carlton Caves ; ^{[15] [16]} Caves y Gerald J. Milburn . ^[17] Posteriormente, Howard Carmichael ^[18] y Howard M. Wiseman ^[19] también hicieron importantes contribuciones al campo.

La noción de una medición débil a menudo se atribuye erróneamente a Yakir Aharonov , David Albert y Lev Vaidman . ^[7] En su artículo, consideran un ejemplo de una medición débil (y quizás acuñan la frase "medición débil") y lo usan para motivar su definición de un valor débil , que definieron allí por primera vez.

Ejemplo: Límite de un imán Gerlach de popa débil

El experimento de Stern-Gerlach es un ejemplo por excelencia de la cuantificación del momento angular del espín del electrón. Implica un fuerte gradiente de campo magnético que provoca una fuerza dependiente del espín sobre los electrones que pasan a través del campo, creando dos haces de electrones de espín puro que salen del aparato.

Supongamos que el imán de este aparato produjera un gradiente muy débil, como una astilla de cristal de calcita.

Teoría: Acoplamiento a Ancilla

No existe una definición universalmente aceptada de una medición débil. Un enfoque consiste en declarar que una medición débil es una medición generalizada en la que algunos o todos los operadores de Kraus están cerca de la identidad. ^[20] El enfoque que se adopta a continuación consiste en interactuar débilmente dos sistemas y luego medir uno de ellos. ^[21] Después de detallar este enfoque, lo ilustraremos con ejemplos.

Interacción débil y medición acoplada a ancilla

Consideremos un sistema que comienza en el estado cuántico y un ancilla que comienza en el estado . El estado inicial combinado es . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$

Estos dos sistemas interactúan a través del hamiltoniano , que genera las evoluciones temporales (en unidades donde ), donde es la "fuerza de interacción", que tiene unidades de tiempo inverso. Supongamos un tiempo de interacción fijo y que es pequeño, de modo que . ${\displaystyle H=A\otimes B}$ ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$

Una expansión en serie de in da ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Como sólo fue necesario expandir el unitario a un orden bajo en la teoría de perturbaciones, llamamos a esto una interacción débil. Además, el hecho de que el unitario sea predominantemente el operador identidad, ya que y son pequeños, implica que el estado después de la interacción no es radicalmente diferente del estado inicial. El estado combinado del sistema después de la interacción es ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Ahora realizamos una medición en el ancilla para conocer el sistema, esto se conoce como una medición acoplada al ancilla. Consideraremos mediciones en una base (en el sistema ancilla) tal que . La acción de la medición en ambos sistemas se describe por la acción de los proyectores en el estado conjunto . A partir de la teoría de medición cuántica sabemos que el estado condicional después de la medición es ${\displaystyle |q\rangle }$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

donde es un factor de normalización para la función de onda. Observe que el estado del sistema ancilla registra el resultado de la medición. El objeto es un operador en el espacio de Hilbert del sistema y se denomina operador de Kraus . ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

Con respecto a los operadores de Kraus, el estado posterior a la medición del sistema combinado es

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Los objetos son elementos de lo que se denomina un POVM y deben obedecer para que las probabilidades correspondientes sumen la unidad: . Como el sistema ancillar ya no está correlacionado con el sistema primario, simplemente está registrando el resultado de la medición, podemos rastrearlo . Al hacerlo, se obtiene el estado condicional del sistema primario únicamente: ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

que todavía etiquetamos según el resultado de la medición . De hecho, estas consideraciones permiten derivar una trayectoria cuántica . ${\displaystyle q}$

Ejemplos de operadores Kraus

Usaremos el ejemplo canónico de los operadores Kraus gaussianos dados por Barchielli, Lanz, Prosperi; ^[13] y Caves y Milburn. ^[17] Tome , donde la posición y el momento en ambos sistemas tienen la relación de conmutación canónica habitual . Tome la función de onda inicial de la ancilla para que tenga una distribución gaussiana ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

La función de onda de posición de la ancilla es

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Los operadores de Kraus son (en comparación con la discusión anterior, establecemos ) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

mientras que los elementos POVM correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

que obedecen a . En la literatura se suele ver una representación alternativa. Utilizando la representación espectral del operador de posición , podemos escribir ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Nótese que . ^[17] Es decir, en un límite particular estos operadores limitan a una medición fuerte de posición; para otros valores de nos referimos a la medición como de fuerza finita; y como , decimos que la medición es débil. ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \to \infty }$

Teoría: Imágenes de contraste de fase

La obtención de imágenes por contraste de fase es un método de obtención de imágenes que se utiliza en física atómica con gases diluidos fríos y densos de átomos, más comúnmente los condensados ​​de Bose Einstein . Utiliza los átomos como lentes y mide la interferencia entre la luz que sufre un desplazamiento de fase por parte de los átomos y la luz que no pasa a través de ellos.

La intensidad de la medición está determinada por la desintonización de la luz de imagen y el tiempo de interacción entre la luz y los átomos.

Intercambio de información-ganancia-perturbación

Como se indicó anteriormente, el teorema de Busch ^[2] impide que haya un almuerzo gratis: no puede haber ganancia de información sin perturbación. Sin embargo, muchos autores han caracterizado la compensación entre ganancia de información y perturbación, incluidos CA Fuchs y Asher Peres ; ^[22] Fuchs; ^[23] Fuchs y KA Jacobs; ^[24] y K. Banaszek. ^[25]

Recientemente se ha examinado la relación entre ganancia de información y perturbación en el contexto de lo que se denomina el "lema de la medición suave". ^{[6] [26]}

Aplicaciones

Desde los primeros días ha estado claro que el uso principal de la medición débil sería para el control de retroalimentación o mediciones adaptativas de sistemas cuánticos. De hecho, esto motivó gran parte del trabajo de Belavkin, y Caves y Milburn dieron un ejemplo explícito. Una aplicación temprana de mediciones débiles adaptativas fue la del receptor Dolinar , ^[27] que se ha realizado experimentalmente. ^{[28] [29]} Otra aplicación interesante de las mediciones débiles es usar mediciones débiles seguidas de una unitaria, posiblemente condicional al resultado de la medición débil, para sintetizar otras mediciones generalizadas. ^[20] El libro de Wiseman y Milburn ^[21] es una buena referencia para muchos de los desarrollos modernos.

Lectura adicional

• Teoría y práctica de la medición cuántica, Andrew Jordan (Cambridge Press 2024) ISBN  9781009100069
• El artículo de Brun ^[1]
• Artículo de Jacobs y Steck ^[30]
• Teoría de la medición cuántica y sus aplicaciones, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN 9781107025486 
• Medición y control cuánticos, HM Wiseman y GJ Milburn (Cambridge Press, 2009) ^[21]
• Artículo de Tamir y Cohen ^[31]

Referencias

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