Función automorfa

Función matemática en un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo

En matemáticas, una función automorfa es una función en un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo , es decir, una función en el espacio cociente . A menudo, el espacio es una variedad compleja y el grupo es un grupo discreto .

Factor de automorfia

En matemáticas , la noción de factor de automorfía surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supóngase que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Entonces, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde hasta los números complejos. Una función se denomina forma automorfa si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(g.x)=j_{g}(x)f(x)}$

donde es una función holomorfa en todas partes distinta de cero. De manera equivalente, una forma automorfa es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de . ${\displaystyle j_{g}(x)}$ ${\displaystyle G}$

El factor de automorfía para la forma automórfica es la función . Una función automórfica es una forma automórfica para la cual es la identidad. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Algunos datos sobre los factores de automorfia:

• Cada factor de automorfía es un cociclo para la acción de sobre el grupo multiplicativo de funciones holomorfas en todas partes distintas de cero. ${\displaystyle G}$
• El factor de automorfía es un colímite si y sólo si surge de una forma automórfica en todas partes distinta de cero.
• Para un factor dado de automorfía, el espacio de formas automórficas es un espacio vectorial.
• El producto puntual de dos formas automórficas es una forma automórfica correspondiente al producto de los factores de automorfía correspondientes.

Relación entre factores de automorfia y otras nociones:

• Sea un retículo en un grupo de Lie . Entonces, un factor de automorfía para corresponde a un fibrado lineal en el grupo cociente . Además, las formas automorfas para un factor de automorfía dado corresponden a secciones del fibrado lineal correspondiente. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

El caso específico de un subgrupo de SL (2,  R ), que actúa sobre el semiplano superior , se trata en el artículo sobre factores automórficos . ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplos

• Grupo kleiniano
• Función modular elíptica
• Función modular
• Toro complejo

Referencias

• AN Parshin (2001) [1994], "Forma automórfica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Andrianov, AN; Parshin, AN (2001) [1994], "Función automórfica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Ford, Lester R. (1929), Funciones automórficas, Nueva York, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM55.0810.04 ​
• Fricke, Robert ; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda Erster; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM28.0334.01 ​
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM32.0430.01 ​