Forma simétrica de Carlson

Conjunto de integrales elípticas

En matemáticas , las formas simétricas de Carlson de integrales elípticas son un pequeño conjunto canónico de integrales elípticas al que se pueden reducir todos los demás. Son una alternativa moderna a las formas de Legendre . Las formas de Legendre pueden expresarse en términos de las formas de Carlson y viceversa.

Las integrales elípticas de Carlson son: ^[1]

$${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$$

$${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$

$${\displaystyle R_{G}(x,y,z)={\tfrac {1}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}{\biggl (}{\frac {x}{t+x}}+{\frac {y}{t+y}}+{\frac {z}{t+z}}{\biggr )}t\,dt}$$

$${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}$$

$${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$

Dado que y son casos especiales de y , todas las integrales elípticas pueden, en última instancia, evaluarse en términos de solo , y . ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle R_{D}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{G}}$

El término simétrico se refiere al hecho de que, a diferencia de las formas de Legendre, estas funciones no cambian mediante el intercambio de ciertos subconjuntos de sus argumentos. El valor de es el mismo para cualquier permutación de sus argumentos y el valor de es el mismo para cualquier permutación de sus primeros tres argumentos. ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)}$

Las integrales elípticas de Carlson llevan el nombre de Bille C. Carlson (1924-2013).

Relación con las formas de Legendre

Integrales elípticas incompletas

Las integrales elípticas incompletas se pueden calcular fácilmente utilizando formas simétricas de Carlson:

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)}$

(Nota: lo anterior sólo es válido para y ) ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$

Integrales elípticas completas

Las integrales elípticas completas se pueden calcular sustituyendo φ =  1 ⁄ 2 π:

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}$

Casos especiales

Cuando dos o tres argumentos cualesquiera son iguales, entonces una sustitución de hace que el integrando sea racional. La integral puede entonces expresarse en términos de funciones trascendentales elementales . ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatorname {arcosh} {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}$

De manera similar, cuando al menos dos de los primeros tres argumentos de son iguales, ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Propiedades

Homogeneidad

Al sustituir en las definiciones integrales cualquier constante , se encuentra que ${\displaystyle t=\kappa u}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}$

Teorema de duplicación

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

dónde . ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}}$^[2]

dónde y ${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})}$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

Expansión de la serie

Para obtener un desarrollo en serie de Taylor para o resulta conveniente desarrollar alrededor del valor medio de los diversos argumentos. Entonces, para , dejando que el valor medio de los argumentos sea , y usando la homogeneidad, defina , y por ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle A=(x+y+z)/3}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}$

es decir, etc. Las diferencias , y se definen con este signo (de manera que se restan ) , para estar de acuerdo con los artículos de Carlson. Dado que es simétrico bajo permutación de , y , también es simétrico en las cantidades , y . De ello se deduce que tanto el integrando de como su integral pueden expresarse como funciones de los polinomios simétricos elementales en , y que son ${\displaystyle \Delta x=1-x/A}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$

Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término...

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

La ventaja de ampliar el valor medio de los argumentos ahora es evidente; se reduce idénticamente a cero y, por tanto, elimina todos los términos que implican , que de otro modo serían los más numerosos. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

De manera similar se puede encontrar una serie ascendente para . Hay una ligera dificultad porque no es totalmente simétrico; su dependencia de su cuarto argumento, , es diferente de su dependencia de , y . Esto se soluciona tratando como una función completamente simétrica de cinco argumentos, dos de los cuales tienen el mismo valor . Por lo tanto, se considera que el valor medio de los argumentos es ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$

y las diferencias , y definido por ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}$

Los polinomios simétricos elementales en , , y (nuevamente) están completos ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

Sin embargo, es posible simplificar las fórmulas para y utilizando el hecho de que . Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término como antes... ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{3}}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{1}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Al igual que con , al expandirse sobre el valor medio de los argumentos, se eliminan más de la mitad de los términos (aquellos que involucran a ). ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Argumentos negativos

En general, los argumentos x, y, z de las integrales de Carlson pueden no ser reales y negativos, ya que esto colocaría un punto de bifurcación en el camino de la integración, haciendo que la integral sea ambigua. Sin embargo, si el segundo argumento de , o el cuarto argumento, p, de es negativo, entonces esto resulta en un polo simple en el camino de la integración. En estos casos puede resultar de interés el valor principal de Cauchy (parte finita) de las integrales; estos son ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}.}$

el cual debe ser mayor que cero para ser evaluado. Esto se puede arreglar permutando x, y y z de modo que el valor de y esté entre el de x y z. ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,q)}$

Evaluación numérica

El teorema de duplicación se puede utilizar para una evaluación rápida y sólida de la forma simétrica de Carlson de integrales elípticas y, por tanto, también para la evaluación de la forma de Legendre de integrales elípticas. Calculemos : primero, definamos y . Luego itera la serie. ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle x_{0}=x}$ ${\displaystyle y_{0}=y}$ ${\displaystyle z_{0}=z}$

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

hasta que se alcance la precisión deseada: si , y no son negativos, todas las series convergerán rápidamente a un valor dado, digamos, . Por lo tanto, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

Evaluar es muy parecido debido a la relación ${\displaystyle R_{C}(x,y)}$

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

Referencias y enlaces externos

1. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert y CW Clark, editores, 2010, Manual de funciones matemáticas del NIST ( Cambridge University Press ), sección 19.16, "Integrales simétricas" . Consultado el 16 de abril de 2024 ..
2. Carlson, Bille C. (1994). "Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas". Algoritmos Numéricos . 10 : 13–26. arXiv : matemáticas/9409227v1 . doi :10.1007/BF02198293.

• BC Carlson, John L. Gustafson 'Aproximaciones asintóticas para integrales elípticas simétricas' 1993 arXiv
• BC Carlson 'Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas' 1994 arXiv
• BC Carlson 'Integrales elípticas: Integrales simétricas' en el cap. 19 de Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas. Fecha de lanzamiento 2010-05-07. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.
• 'Perfil: Bille C. Carlson' en Biblioteca digital de funciones matemáticas. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.12. Integrales elípticas y funciones elípticas jacobianas", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 10 de agosto de 2011
• Código Fortran de SLATEC para evaluar RF, RJ, RC, RD,