Dislocaciones geométricamente necesarias

Las dislocaciones geométricamente necesarias son dislocaciones con signos similares necesarias para adaptarse a la flexión del plástico en un material cristalino . ^[1] Están presentes cuando la deformación plástica de un material va acompañada de gradientes de deformación plástica internos. ^[2] Están en contraste con las dislocaciones almacenadas estadísticamente, con estadísticas de signos positivos y negativos iguales, que surgen durante el flujo plástico a partir de procesos de multiplicación como la fuente Frank-Read.

Dislocaciones en materiales cristalinos.

Dislocaciones almacenadas estadísticamente

A medida que avanza la deformación, la densidad de las dislocaciones aumenta y la movilidad de las dislocaciones disminuye durante el flujo plástico. Hay diferentes formas a través de las cuales se pueden acumular las dislocaciones. Muchas de las dislocaciones se acumulan por multiplicación, donde las dislocaciones se encuentran por casualidad. Las dislocaciones almacenadas en tales progresos se denominan dislocaciones almacenadas estadísticamente, con su correspondiente densidad . ^[2] En otras palabras, son dislocaciones evolucionadas a partir de procesos de atrapamiento aleatorio durante la deformación plástica. ^[3] ${\displaystyle \rho _{s}}$

Dislocaciones geométricamente necesarias

Además de las dislocaciones almacenadas estadísticamente, las dislocaciones geométricamente necesarias se acumulan en campos de gradiente de deformación causados ​​por restricciones geométricas de la red cristalina. En este caso, la deformación plástica va acompañada de gradientes de deformación plástica internos. La teoría de las dislocaciones geométricamente necesarias fue introducida por primera vez por Nye ^[4] en 1953. Dado que las dislocaciones geométricamente necesarias están presentes además de las dislocaciones almacenadas estadísticamente, la densidad total es la acumulación de dos densidades, por ejemplo , ¿dónde está la densidad de las dislocaciones geométricamente necesarias? . ${\displaystyle \rho _{s}+\rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

Concepto

Cristal individual

La flexión plástica de un monocristal se puede utilizar para ilustrar el concepto de dislocación geométricamente necesaria, donde los planos de deslizamiento y las orientaciones del cristal son paralelos a la dirección de flexión. El cristal perfecto (no deformado) tiene una longitud y un grosor . Cuando la barra de cristal se dobla hasta un radio de curvatura , se forma un gradiente de deformación donde se produce una deformación por tracción en la parte superior de la barra de cristal, lo que aumenta la longitud de la superficie superior de a . Aquí es positivo y se supone que su magnitud es . De manera similar, la longitud de la superficie interior opuesta disminuye de a debido a la deformación por compresión causada por la flexión. Por lo tanto, el gradiente de deformación es la diferencia de deformación entre las superficies exterior e interior del cristal dividida por la distancia sobre la cual existe el gradiente. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l+dl}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle t\theta /2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l-dl}$

${\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}$. Desde , . ${\displaystyle l=r\theta }$ ${\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}}$

Figura para explicar la formación de dislocaciones geométricamente necesarias en un solo cristal.

La longitud de la superficie dividida por el espacio interatómico es el número de planos cristalinos en esta superficie. El espaciado interatómico es igual a la magnitud del vector de Burgers . Por tanto, el número de planos cristalinos en la superficie exterior (tensión) y en la superficie interior (compresión) es y , respectivamente. Por lo tanto, se introduce el concepto de dislocaciones geométricamente necesarias: dislocaciones de borde del mismo signo compensan la diferencia en el número de planos atómicos entre superficies. La densidad de dislocaciones geométricamente necesarias es esta diferencia dividida por el área de la superficie del cristal. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (l+dl)/b}$ ${\displaystyle (l-dl)/b}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Más precisamente, se debe considerar la orientación del plano de deslizamiento y la dirección con respecto a la flexión al calcular la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias. En un caso especial, cuando las normales del plano de deslizamiento son paralelas al eje de flexión y las direcciones de deslizamiento son perpendiculares a este eje, durante el proceso de flexión se produce un deslizamiento por dislocación ordinaria en lugar de una dislocación geométricamente necesaria. Por tanto, se incluye una constante de orden unidad en la expresión de la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

material policristalino

Entre los granos adyacentes de un material policristalino, las dislocaciones geométricamente necesarias pueden proporcionar compatibilidad de desplazamiento al adaptarse al gradiente de deformación de cada cristal. Empíricamente, se puede inferir que tales regiones de dislocaciones existen porque los cristalitos en un material policristalino no tienen huecos ni segmentos superpuestos entre ellos. En tal sistema, la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias se puede estimar considerando un grano promedio. La superposición entre dos granos adyacentes es proporcional a donde está la deformación promedio y el diámetro del grano. El desplazamiento es proporcional a multiplicado por la longitud calibrada, que se toma como para un policristal. Esto, dividido por el vector de Burgers , b , produce el número de dislocaciones, y al dividir por el área ( ) se obtiene la densidad. ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}d}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \cong d^{2}}$

${\displaystyle \rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}$

que, con más consideraciones geométricas, se puede refinar para

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}$. ^[2]

tensor de nye

Nye ha introducido un conjunto de tensores (el llamado tensor de Nye) para calcular la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria. ^[4]

Para dislocaciones tridimensionales en un cristal, se considera una región donde se promedian los efectos de las dislocaciones (es decir, el cristal es lo suficientemente grande). Las dislocaciones pueden determinarse mediante vectores de Burgers . Si un circuito de Burgers del área unitaria normal al vector unitario tiene un vector de Burgers ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}}$( ) ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

donde el coeficiente es el tensor de Nye que relaciona el vector unitario y el vector de Burgers . Este tensor de segundo rango determina el estado de dislocación de una región especial. ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Supongamos que , donde es el vector unitario paralelo a las dislocaciones y es el vector de Burgers, y n es el número de dislocaciones que cruzan el área unitaria normal a . De este modo, . El total es la suma de todos los valores diferentes de . Suponga un tensor de segundo rango para describir la curvatura de la red, donde son las pequeñas rotaciones de la red alrededor de los tres ejes y es el vector de desplazamiento. Se puede demostrar que donde para y para . ${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}}$ ${\displaystyle dx_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Las ecuaciones de equilibrio producen . Ya que , así . Sustituyendo por , . Debido a la solución cero para las ecuaciones con son cero y la simetría de y , solo quedan nueve ecuaciones independientes de las veintisiete permutaciones posibles de . El tensor de Nye puede determinarse mediante estas nueve ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$ ${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$

Por tanto, el potencial de dislocación se puede escribir como , donde . ${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$

Medición

El ensayo de tracción uniaxial se ha realizado en gran medida para obtener las relaciones tensión-deformación y las propiedades mecánicas relacionadas de muestras en masa. Sin embargo, existe un almacenamiento adicional de defectos asociados con la deformación plástica no uniforme en dislocaciones geométricamente necesarias, y la prueba macroscópica ordinaria por sí sola, por ejemplo, la prueba de tracción uniaxial, no es suficiente para capturar los efectos de tales defectos, por ejemplo, el gradiente de deformación plástica. Además, las dislocaciones geométricamente necesarias se encuentran en la escala de micras, mientras que una prueba de flexión normal realizada a escala milimétrica no logra detectar estas dislocaciones. ^[5]

Sólo después de la invención de métodos resueltos espacial y angularmente para medir la distorsión de la red mediante difracción de electrones retrodispersados ​​por Adams et al. ^[6] en 1997, se hicieron posibles mediciones experimentales de dislocaciones geométricamente necesarias. Por ejemplo, Sun et al. ^[7] en 2000 estudiaron el patrón de curvatura de la red cerca de la interfaz de bicristales de aluminio deformados utilizando microscopía de imágenes de orientación basada en difracción. Así, la observación de dislocaciones geométricamente necesarias se realizó utilizando los datos de curvatura.

Pero debido a limitaciones experimentales, la densidad de dislocación geométricamente necesaria para un estado de deformación general era difícil de medir hasta que Kysar et al. introdujeron un método de límite inferior. ^{[8] en} 2010. Estudiaron la indentación de cuña con un ángulo incluido de 90 grados en un solo cristal de níquel (y más tarde, Dahlberg et al. también dispusieron de ángulos incluidos de 60 grados y 120 grados ). Al comparar la orientación de la red cristalina en la configuración postdeformada con la muestra homogénea no deformada, pudieron determinar la rotación de la red en el plano y encontraron que era un orden de magnitud mayor que las rotaciones de la red fuera del plano, por lo tanto demostrando el supuesto de deformación plana.

El tensor de densidad de dislocaciones de Nye ^[4] tiene solo dos componentes distintos de cero debido al estado de deformación bidimensional y pueden derivarse de las mediciones de rotación de la red. Dado que la relación lineal entre dos componentes del tensor de Nye y las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias suele estar subdeterminada, la densidad total de dislocaciones geométricamente necesarias se minimiza sujeta a esta relación. Esta solución de límite inferior representa la densidad de dislocación mínima geométricamente necesaria en el cristal deformado consistente con la geometría de la red medida. Y en regiones donde se sabe que solo uno o dos sistemas de deslizamiento efectivos están activos, la solución del límite inferior se reduce a la solución exacta para las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias.

Solicitud

Porque además de la densidad de dislocaciones almacenadas estadísticamente , el aumento en la densidad de dislocaciones debido a los policristales acomodados conduce a un efecto del tamaño de grano durante el endurecimiento por deformación ; es decir, los policristales de tamaño de grano más fino tenderán a endurecerse más rápidamente. ^[2] ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{s}}$

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden proporcionar fortalecimiento, donde existen dos mecanismos en diferentes casos. El primer mecanismo proporciona un endurecimiento isotrópico macroscópico a través de la interacción de dislocaciones locales, por ejemplo, formación de jogging cuando una dislocación existente geométricamente necesaria es cortada por una dislocación en movimiento. El segundo mecanismo es el endurecimiento cinemático mediante la acumulación de contratensiones de largo alcance. ^[10]

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden reducir su energía libre apilándolas una encima de otra (consulte la fórmula de Peach-Koehler para tensiones de dislocación-dislocación) y formar límites de inclinación de ángulo bajo . Este movimiento a menudo requiere que las dislocaciones asciendan a diferentes planos de deslizamiento, por lo que a menudo es necesario un recocido a temperatura elevada. El resultado es un arco que pasa de estar continuamente curvado a curvarse discretamente con torceduras en los límites de inclinación de ángulo bajo. ^[1]

Referencias

1. D., Nix, William; Sociedad., Investigación de Materiales (2016-09-15). Imperfecciones en sólidos cristalinos . ISBN 9781107123137. OCLC  927400734.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. H., Courtney, Thomas (2005). Comportamiento mecánico de los materiales . Prensa Waveland. ISBN 978-1577664253. OCLC  894800884.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Arsenlis, A; Parks, DM (marzo de 1999). "Aspectos cristalográficos de la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria y almacenada estadísticamente". Acta Materialia . 47 (5): 1597-1611. Código Bib : 1999AcMat..47.1597A. doi :10.1016/s1359-6454(99)00020-8. ISSN  1359-6454.
4. Nye, JF (marzo de 1953). "Algunas relaciones geométricas en cristales dislocados". Acta Metalúrgica . 1 (2): 153–162. doi :10.1016/0001-6160(53)90054-6. ISSN  0001-6160.
5. Gao, Huajian; Huang, Yonggang (enero de 2003). "Dislocación geométricamente necesaria y plasticidad dependiente del tamaño". Scripta Materialia . 48 (2): 113–118. doi :10.1016/s1359-6462(02)00329-9. ISSN  1359-6462.
6. Adams, Brent L. (junio de 1997). "Microscopía de imágenes de orientación: aplicaciones emergentes y futuras". Ultramicroscopía . 67 (1–4): 11–17. doi :10.1016/s0304-3991(96)00103-9. ISSN  0304-3991.
7. Sol, BL Adams, WE King, S. (1 de enero de 2000). "Observaciones de curvatura de la red cerca de la interfaz de un bicristal de aluminio deformado". Revista Filosófica A. 80 (1): 9–25. doi :10.1080/014186100250985. ISSN  0141-8610.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Kysar, JW; Saito, Y.; Oztop, MS; Lee, D.; Eh, WT (agosto de 2010). "Límites inferiores experimentales de la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias". Revista Internacional de Plasticidad . 26 (8): 1097–1123. doi :10.1016/j.ijplas.2010.03.009. ISSN  0749-6419.
9. Dahlberg, director financiero; Saito, Y.; Öztop, MS; Kysar, JW (marzo de 2014). "Medidas de densidad de dislocaciones geométricamente necesarias asociadas con diferentes ángulos de indentaciones". Revista Internacional de Plasticidad . 54 : 81–95. doi :10.1016/j.ijplas.2013.08.008. ISSN  0749-6419.
10. Fleck, NA; Ashby, MF; Hutchinson, JW (enero de 2003). "El papel de las dislocaciones geométricamente necesarias para dar fortalecimiento material". Scripta Materialia . 48 (2): 179–183. CiteSeerX 10.1.1.518.6418 . doi :10.1016/s1359-6462(02)00338-x. ISSN  1359-6462.