Discretización temporal

tecnica matematica

En física e ingeniería aplicadas , la discretización temporal es una técnica matemática para resolver problemas transitorios , como los problemas de flujo .

Los problemas transitorios a menudo se resuelven mediante simulaciones de ingeniería asistida por computadora (CAE), que requieren discretizar las ecuaciones gobernantes tanto en el espacio como en el tiempo. La discretización temporal implica la integración de cada término en varias ecuaciones durante un paso de tiempo ( ). ${\displaystyle \Delta t}$

El dominio espacial se puede discretizar para producir una forma semidiscreta: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~}$$

La discretización temporal de primer orden utilizando diferencias hacia atrás es ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

Y la discretización de segundo orden es

$${\displaystyle {\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

• ${\displaystyle \varphi }$es un escalar
• ${\displaystyle n+1}$es el valor en la próxima vez, ${\displaystyle t+\Delta t}$
• ${\displaystyle n}$es el valor en el momento actual, ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n-1}$es el valor en el momento anterior, ${\displaystyle t-\Delta t}$

La función se evalúa mediante integración de tiempo implícita y explícita. ^[3] ${\displaystyle F(\varphi )}$

Descripción

La discretización temporal se realiza integrando la ecuación general discretizada en el tiempo. Primero, se suponen los valores para un volumen de control dado en el intervalo de tiempo y luego se encuentra el valor en el intervalo de tiempo. Este método establece que la integral de tiempo de una variable determinada es un promedio ponderado entre los valores actuales y futuros. La forma integral de la ecuación se puede escribir como: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\Delta t}$

$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),}$$

${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f=0.0}$produce el esquema completamente explícito .
• ${\displaystyle f=1.0}$produce el esquema totalmente implícito .
• ${\displaystyle f=0.5}$produce el esquema de Crank-Nicolson .

Esta integración es válida para cualquier volumen de control y cualquier variable discretizada. La siguiente ecuación se obtiene cuando se aplica a la ecuación gobernante, incluidos los términos de fuente , convección y difusión discretizada completa . ^[4]

$${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t}$$

Métodos para evaluar la función F ( φ )

Después de discretizar la derivada del tiempo, la función queda por evaluar. La función ahora se evalúa mediante integración de tiempo implícita y explícita. ^[5] ${\displaystyle F(\varphi )}$

Integración en tiempo implícito

Este método evalúa la función en un momento futuro. ${\displaystyle F(\varphi )}$

Formulación

La evaluación mediante integración de tiempo implícito viene dada por:

$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n+1}),}$$

Esto se llama integración implícita, ya que en una celda determinada se relaciona con las celdas vecinas a través de : ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle F(\varphi ^{n+1})}$

$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta tF(\varphi ^{n+1}),}$$

En el caso del método implícito, la configuración es incondicionalmente estable y puede manejar grandes intervalos de tiempo ( ). Pero estabilidad no significa precisión. Por lo tanto, lo grande afecta la precisión y define la resolución temporal. Pero el comportamiento puede implicar una escala de tiempo física que debe resolverse. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$

Integración en tiempo explícito

Este método evalúa la función en un momento actual. ${\displaystyle F(\varphi )}$

Formulación

La evaluación utilizando integración de tiempo explícito se da como:

$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n}),}$$

Y se denomina integración explícita ya que se puede expresar explícitamente en los valores de solución existentes : ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta t\,F(\varphi ^{n}),}$$

Aquí, el paso de tiempo ( ) está restringido por el límite de estabilidad del solucionador (es decir, el paso de tiempo está limitado por la condición de Courant-Friedrichs-Lewy ). Para ser preciso con respecto al tiempo, se debe utilizar el mismo paso de tiempo en todo el dominio y, para que sea estable, el paso de tiempo debe ser el mínimo de todos los pasos de tiempo locales en el dominio. Este método también se conoce como "paso de tiempo global". ${\displaystyle \Delta t}$

Ejemplos

Muchos esquemas utilizan integración de tiempo explícito. Algunos de estos son los siguientes:

• Método Lax-Wendroff
• Método de Runge-Kutta

Ver también

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy .
• Análisis de estabilidad de von Neumann .
• Método de elementos finitos
• Métodos explícitos e implícitos.
• Chi-Wang Shu

Referencias

1. "Discretización espacial y temporal". Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
2. Selección de discretización espacial y temporal.
3. "Discretización de plazo transitorio".
4. "Ejemplos de discretización temporal".
5. Jirka Simunek