En matemáticas , un álgebra de Zinbiel o álgebra dual de Leibniz es un módulo sobre un anillo conmutativo con un producto bilineal que satisface la identidad definitoria:
![{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)+a\circ (c\circ b).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las álgebras de Zinbiel fueron introducidas por Jean-Louis Loday (1995). El nombre fue propuesto por Jean-Michel Lemaire como "opuesto" al álgebra de Leibniz . [1]
En cualquier álgebra de Zinbiel, el producto simetrizado
![{\displaystyle a\star b=a\circ b+b\circ a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es asociativo .
Un álgebra de Zinbiel es el concepto dual de Koszul de un álgebra de Leibniz. El álgebra libre de Zinbiel sobre V es el álgebra tensorial con producto
![{\displaystyle (x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{p})\circ (x_{p+1}\otimes \cdots \otimes x_{p+q})=x_{0}\sum _ (p,q)}(x_{1},\ldots,x_{p+q}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la suma es sobre todas las mezclas . [1]
Referencias
- Dzhumadil'daev, AS; Tulenbaev, KM (2005). "Nilpotencia de las álgebras de Zinbiel". J.Dyn. Sistema de control . 11 (2): 195–213.
- Ginzburg, Víctor ; Kapranov, Mikhail (1994). "Dualidad Koszul para óperas". Revista de Matemáticas de Duke . 76 : 203–273. arXiv : 0709.1228 . doi :10.1215/s0012-7094-94-07608-4. SEÑOR 1301191.
- Loday, Jean-Louis (1995). "Producto de copa para cohomología de Leibniz y álgebras duales de Leibniz" (PDF) . Matemáticas. Escanear . 77 (2): 189-196.
- Loday, Jean-Louis (2001). Dialgebras y operaciones afines. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1763. Springer Verlag . págs. 7–66.
- Zinbiel, Guillaume W. (2012), "Enciclopedia de tipos de álgebras 2010", en Guo, Li; Bai, Chengming; Loday, Jean-Louis (eds.), Óperas y álgebra universal, Serie Nankai en Matemática pura, aplicada y Física teórica, vol. 9, págs. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode : 2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116