Laplaciano infinito

En matemáticas , el operador de Laplace infinito (o -Laplace) es un operador diferencial parcial de segundo orden , comúnmente abreviado como . Se define alternativamente, para una función de las variables , por ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta _{\infty }}$ ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle \Delta _{\infty }u=\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}}$

o

${\displaystyle \Delta _{\infty }u={\frac {\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle }{|Du|^{2}}}={\frac {1}{|Du|^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}},}$

donde denota el vector de gradiente , denota la matriz hessiana y denota el producto interno euclidiano . La primera versión evita la singularidad que ocurre cuando el gradiente se desvanece, mientras que la segunda versión es homogénea de orden cero en el gradiente. Verbalmente, la segunda versión es la segunda derivada en la dirección del gradiente . En el caso de la ecuación de Laplace del infinito , las dos definiciones son equivalentes. ${\displaystyle Du}$ ${\displaystyle D^{2}u}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \Delta _{\infty }u=0}$

Si bien la ecuación involucra derivadas segundas, por lo general las soluciones (generalizadas) no son dos veces diferenciables, como lo demuestra la conocida solución de Aronsson . Por esta razón, la noción correcta de soluciones es la dada por las soluciones de viscosidad . ${\displaystyle u(x,y)=|x|^{4/3}-|y|^{4/3}}$

Las soluciones de viscosidad de la ecuación también se conocen como funciones armónicas infinitas . Esta terminología surge del hecho de que el operador de Laplace infinito surgió por primera vez en el estudio de minimizadores absolutos para , y puede verse en cierto sentido como el límite del p-Laplaciano como . Más recientemente, las soluciones de viscosidad de la ecuación de Laplace infinita se han identificado con las funciones de pago de juegos de tira y afloja aleatorios . El punto de vista de la teoría de juegos ha mejorado significativamente la comprensión de la ecuación diferencial parcial en sí. ${\displaystyle \Delta _{\infty }u=0}$ ${\displaystyle \|Du\|_{L^{\infty }}}$ ${\displaystyle p\rightarrow \infty }$

Versión discreta y teoría de juegos

Una propiedad definitoria de las funciones armónicas habituales es la propiedad del valor medio . Ésta tiene una versión discreta natural e importante: una función de valor real en un gráfico finito o infinito es armónica discreta en un subconjunto si ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(V,E)}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\deg(x)}}\sum _{y\sim x}f(y)}$

para todos . De manera similar, la segunda derivada que se desvanece en la dirección del gradiente tiene una versión discreta natural: ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sup\{f(y):y\sim x\}+\inf\{f(y):y\sim x\}}{2}}}$.

En esta ecuación, usamos sup e inf en lugar de max y min porque el gráfico no tiene que ser localmente finito (es decir, tener grados finitos): un ejemplo clave es cuando el conjunto de puntos en un dominio está en , y si su distancia euclidiana es como máximo . La importancia de este ejemplo radica en lo siguiente. ${\displaystyle G(V,E)}$ ${\displaystyle V(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (x,y)\in E(G)}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Considérese un conjunto abierto acotado con un borde suave , y una función continua . En el caso , una aproximación de la extensión armónica de f a D se da tomando una red con un tamaño de malla pequeño , dejando y ser el conjunto de vértices con grado menor que 2d , tomando una aproximación natural , y luego tomando la única extensión armónica discreta de a V . Sin embargo, es fácil ver con ejemplos que esto no funciona para el caso . En cambio, como resulta, uno debería tomar el grafo continuo con todos los bordes de longitud como máximo , mencionado anteriormente. ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle f:\partial D\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle G_{\epsilon }(V,E)=D\cap \mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}}$ ${\displaystyle \partial V\subset V}$ ${\displaystyle f_{\epsilon }:\partial V\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Ahora bien, una forma probabilística de ver la extensión -armónica de de a es que ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{\epsilon }(x)=\mathbb {E} {\big [}f_{\epsilon }(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x{\big ]}}$,

¿Dónde está la caminata aleatoria simple que comenzó en , y es el tiempo de impacto de ? ${\displaystyle X_{0},X_{1},\dots }$ ${\displaystyle G_{\epsilon }(V,E)}$ ${\displaystyle X_{0}=x}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \partial V}$

Para el caso -, necesitamos la teoría de juegos . Se inicia una ficha en la ubicación , y se entrega. Hay dos jugadores, en cada turno lanzan una moneda justa, y el ganador puede mover la ficha a cualquier vecino de la ubicación actual. El juego termina cuando la ficha llega a un momento y ubicación determinados , momento en el que el primer jugador obtiene la cantidad del segundo jugador. Por lo tanto, el primer jugador quiere maximizar , mientras que el segundo jugador quiere minimizarlo. Si ambos jugadores juegan de forma óptima (lo que tiene un significado bien definido en la teoría de juegos), la recompensa esperada para el primer jugador es una función armónica discreta de infinito, como se definió anteriormente. ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle x\in V(G)}$ ${\displaystyle f:\partial V\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle f(X_{\tau })}$ ${\displaystyle f(X_{\tau })}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [f(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x]}$

También existe un enfoque de teoría de juegos para el p-Laplaciano , que interpola entre un paseo aleatorio simple y el juego de tira y afloja aleatorio mencionado anteriormente.

Fuentes

• Barron, Emmanuel Nicholas; Evans, Lawrence C.; Jensen, Robert (2008), "El laplaciano del infinito, la ecuación de Aronsson y sus generalizaciones" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 360 (1): 77–101, doi : 10.1090/S0002-9947-07-04338-3 , ISSN  0002-9947
• Peres, Yuval; Schramm, Oded ; Sheffield, Scott; Wilson, David B. (2009), "Tug-of-war y el laplaciano infinito.", Journal of the American Mathematical Society , 22 (1): 167–210, arXiv : math/0605002v2 , Bibcode :2009JAMS...22..167P, doi :10.1090/s0894-0347-08-00606-1, MR  2449057, S2CID  15472459.