Huella de aterrizaje

La huella de aterrizaje del rover Opportunity en Meridiani Planum, Marte

Una huella de aterrizaje , también llamada elipse de aterrizaje , es el área de incertidumbre de la zona de aterrizaje de una nave espacial en un cuerpo astronómico. Después de la entrada atmosférica , el punto de aterrizaje de una nave espacial dependerá del grado de control (si lo hay), el ángulo de entrada, la masa de entrada, las condiciones atmosféricas y la resistencia. (Tenga en cuenta que la Luna y los asteroides no tienen factores aéreos). Al agregar tantas variables, es posible modelar la zona de aterrizaje de una nave espacial con un cierto grado de precisión. Al simular la entrada en condiciones variables, se puede calcular una elipse probable ; el tamaño de la elipse representa el grado de incertidumbre para un intervalo de confianza dado . ^[1]

Explicación matemática

Para crear una huella de aterrizaje para una nave espacial, el enfoque estándar es utilizar el método de Monte Carlo para generar distribuciones de condiciones de entrada iniciales y parámetros atmosféricos, resolver las ecuaciones de movimiento de reentrada y catalogar el par longitud / latitud final en el momento del aterrizaje . ^{[2] [3]} Se supone comúnmente que la distribución resultante de los sitios de aterrizaje sigue una distribución gaussiana bivariada : ${\displaystyle (\lambda ,\phi )}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\Sigma |}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right]}$

dónde:

• ${\displaystyle x=(\lambda ,\phi )}$es el vector que contiene el par longitud/latitud
• ${\displaystyle \mu }$es el vector de valor esperado
• ${\displaystyle \Sigma }$es la matriz de covarianza
• ${\displaystyle |\Sigma |}$denota el determinante de la matriz de covarianza

Una vez estimados los parámetros a partir de las simulaciones numéricas, se puede calcular una elipse para un percentil . Se sabe que para un vector de valores reales con una distribución conjunta gaussiana multivariante, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad: ${\displaystyle (\mu ,\Sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\sim \chi _{n}^{2}}$

Esto se puede ver definiendo el vector , que conduce a y es la definición de la estadística de chi-cuadrado utilizada para construir la distribución resultante. Por lo tanto, para la distribución gaussiana bivariada, el límite de la elipse en un percentil dado es . Esta es la ecuación de un círculo centrado en el origen con radio , que conduce a las ecuaciones: ${\displaystyle z=\Sigma ^{-1/2}(x-\mu )}$ ${\displaystyle Q=z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}$ ${\displaystyle z^{T}z=\chi _{2}^{2}(p)}$ ${\displaystyle {\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}}$

${\displaystyle z={\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\Rightarrow x(\theta )=\mu +{\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}\Sigma ^{1/2}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$

donde es el ángulo. La raíz cuadrada de la matriz se puede encontrar a partir de la descomposición en valores propios de la matriz de covarianza, que se puede escribir como: ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \Sigma ^{1/2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Sigma =V\Lambda V^{T}\implies \Sigma ^{1/2}=V\Lambda ^{1/2}V^{T}}$

donde los valores propios se encuentran en la diagonal de . Los valores de entonces definen la huella de aterrizaje para un nivel de confianza dado, que se expresa a través de la elección del percentil. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Lista de elipses de aterrizaje en cuerpos extraterrestres
• Aterrizaje en Marte
• Alunizaje

Referencias

• Portal de vuelos espaciales

1. Lakdawalla, Emily (13 de mayo de 2008). "Landing Ellipse". The Planetary Society . Consultado el 7 de mayo de 2018 .
2. Tooley, Jeff; Lyons, Daniel; Desai, Prasun; Wawrzyniak, Geoffrey (21 de agosto de 2006). "Entrada en Stardust: Aterrizaje y peligros de población en la planificación y operaciones de misiones". Conferencia y exposición de especialistas en astrodinámica de la AIAA/AAS . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.2006-6412. hdl : 2060/20070022844 . ISBN . 978-1-62410-048-2.
3. Golombek, M.; Kipp, D.; Warner, N.; Daubar, IJ; Fergason, R.; Kirk, RL; Beyer, R.; Huertas, A.; Piqueux, S.; Putzig, NE; Campbell, BA; Morgan, GA; Charalambous, C.; Pike, WT; Gwinner, K. (1 de octubre de 2017). "Selección del sitio de aterrizaje de InSight". Space Science Reviews . 211 (1): 5–95. doi :10.1007/s11214-016-0321-9. ISSN  1572-9672.